Question transversaleMathsAnglaisLa langue comme donnée

Pourquoi « the » représente-t-il 7 % des mots anglais ? La loi de Zipf

Q: Pourquoi la série harmonique croît-elle comme ln n ?

On compare $1/k$ à l'aire sous la courbe de $1/x$ : $∫₁ⁿdx/x=ln n$.

Dans un grand corpus anglais, « the » représente environ 7 % des mots, « of » 3,6 % et « and » 2,9 % : la fréquence du mot de rang r est à peu près proportionnelle à 1/r. Avec un vocabulaire de 10 000 mots suivant cette loi, les 100 mots les plus fréquents couvrent H₁₀₀/H₁₀ ₀₀₀ ≈ 53 % d'un texte, où Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n. Sur un graphique en échelles logarithmiques, la loi donne une droite de pente −1.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons travaillé sur l'apprentissage du vocabulaire, et un professeur nous a dit qu'en connaissant quelques centaines de mots, on comprend la moitié d'un texte anglais. Je n'y croyais pas. J'ai découvert la loi de Zipf, du linguiste américain George Kingsley Zipf, qui décrit la fréquence des mots dans toutes les langues, et j'ai voulu vérifier cette affirmation par le calcul.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser des fréquences par une loi en 1/r, calculer des sommes partielles de la série harmonique et linéariser une loi en puissance par le logarithme.

Mathématiques

Sommes partielles de 1/k, croissance comme ln n (terminale)
Logarithme : une loi en puissance devient une droite (terminale)
Fréquences et proportions (seconde)

LLCER anglais (dont anglais, monde contemporain)

Axe « Savoirs, création, innovation » : la langue étudiée comme une donnée (anglais, monde contemporain)
Thématique « Arts et débats d'idées » : langue, pensée et culture (terminale LLCER)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Quelques mots reviennent sans cesse dans un texte, comme « the », « of », « and », alors que la plupart n'apparaissent presque jamais. Problématique : existe-t-il une loi qui décrit cette répartition, et que nous dit-elle sur l'apprentissage d'une langue ?
2. Mathématiques : une fréquence en 1/r
4 min
Dans le Brown Corpus, un million de mots d'anglais américain réunis dans les années 1960, « the » apparaît environ 70 000 fois (7 %), « of » environ 36 000 fois (3,6 %), « and » environ 29 000 fois (2,9 %). Le deuxième mot est environ deux fois moins fréquent que le premier, le troisième environ trois fois moins.
Loi de Zipf : la fréquence du mot de rang $r$ r est proportionnelle à $\frac{1}{r}$ 1/r : $f (r) = \frac{C}{r}$ f(r)=C/r. En prenant le logarithme : $ln f = ln C - ln r$ ln f=ln C-ln r. Le graphique de $ln f$ ln f en fonction de $ln r$ ln r est une droite de pente $- 1$ -1.
Couverture : avec un vocabulaire de $N$ N mots suivant exactement cette loi, la part d'un texte couverte par les $k$ k mots les plus fréquents vaut $\frac{H _{k}}{H _{N}}$ Hₖ/H_N, où $H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ Hₙ=1+1/2+…+1/n. Pour $N = 10000$ N=10 000 : $H_{10000} \approx 9, 79$ H_10 000≈9,79. Les 10 premiers mots couvrent $\frac{H _{10}}{H _{10000}} \approx \frac{2 , 93}{9 , 79} \approx 30 %$ H₁₀/(H_10 000)≈2,93/9,79≈30 % ; les 100 premiers, $\frac{5 , 19}{9 , 79} \approx 53 %$ 5,19/9,79≈53 %.
La somme $H_{n}$ Hₙ croît comme $ln n$ ln n : chaque fois que l'on multiplie le nombre de mots appris par 10, on gagne à peu près la même part supplémentaire de texte. Les premiers mots rapportent énormément, les suivants de moins en moins. C'est pourquoi on comprend vite l'essentiel d'une langue, mais qu'il faut des milliers de mots pour en comprendre les nuances.
3. In English: the principle of least effort
3 min
George Kingsley Zipf, a linguist at Harvard, published his law in the 1930s and in his book Human Behavior and the Principle of Least Effort (1949). He suggested that languages balance two opposite efforts: the speaker would like to use very few words, and the listener would like every word to be precise. The result, he argued, is a compromise in which a few words are used constantly and many are used rarely.
The same law appears in surprising places: the sizes of cities, the popularity of websites, and even the frequency of notes in music. Today, it is used in language technology, for example to build dictionaries for learners or to compress texts. For English learners, it has a practical consequence: the most frequent words are "function words", such as articles and prepositions, which carry grammar rather than meaning. To understand a text, you need them, but also the rarer words that carry the content.
4. Conclusion
1,5 min
La fréquence des mots anglais suit à peu près une loi en $\frac{1}{r}$ 1/r : avec un vocabulaire de 10 000 mots, les 100 plus fréquents couvrent environ 53 % d'un texte, car la somme $H_{n}$ Hₙ croît comme $ln n$ ln n. La loi de Zipf explique pourquoi quelques mots suffisent pour comprendre l'essentiel, mais pas les détails. J'ouvre sur la même loi appliquée à la taille des villes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

f (r) = \frac{C}{r} ln f = ln C - ln r (pente - 1) H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} \approx ln n + 0, 58 f(r)=C/r ln f=ln C-ln r ( pente -1) Hₙ=Σ_k=1ⁿ1/k\approxln n+0,58 \frac{H _{10}}{H _{10000}} \approx \frac{2 , 93}{9 , 79} \approx 30 % \frac{H _{100}}{H _{10000}} \approx \frac{5 , 19}{9 , 79} \approx 53 % H₁₀/(H_10 000)\approx2,93/9,79\approx30 % H₁₀₀/(H_10 000)\approx5,19/9,79\approx53 %

Conclusion : la réponse à la question

Une loi en $\frac{1}{r}$ 1/r et la croissance logarithmique de la série harmonique décrivent la fréquence des mots. La loi de Zipf relie mathématiques, linguistique et apprentissage des langues.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la série harmonique croît-elle comme ln n ?

On compare $\frac{1}{k}$ 1/k à l'aire sous la courbe de $\frac{1}{x}$ 1/x : $\int_{1}^{n} \frac{d x}{x} = ln n$ ∫₁ⁿdx/x=ln n.

Selon Zipf, combien de fois le 10ᵉ mot est-il moins fréquent que le 1er ?

Environ 10 fois.

What is the "principle of least effort"?

Zipf's idea that language balances the speaker's wish to use few words and the listener's need for precise words.

What are function words?

Very frequent words such as "the" or "of", which carry grammar rather than meaning.

La loi de Zipf est-elle exacte ?

Non, c'est une approximation qui marche bien pour les rangs moyens, moins pour les tout premiers et les plus rares.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre rang et fréquence.
Croire que connaître 100 mots suffit pour comprendre un texte.
Oublier de normaliser par la somme totale.

Revoir les notions

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