Peut-on prédire parfaitement le tournoi de basket universitaire américain ? March Madness et 2⁶³

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié le sport universitaire américain, et chaque mois de mars, des dizaines de millions d'Américains remplissent un « bracket » pour pronostiquer le tournoi de basket universitaire, la « March Madness ». En 2014, un milliardaire avait promis un milliard de dollars à qui ferait un pronostic parfait. J'ai voulu calculer la probabilité d'y arriver, avec le dénombrement et les puissances.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer les issues d'un tournoi à élimination directe, calculer une probabilité par un produit et comparer des ordres de grandeur.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le tournoi final de basket universitaire masculin réunit 64 équipes, qui s'affrontent en matchs à élimination directe jusqu'au titre. Les fans remplissent un tableau prédisant le vainqueur de chaque match. Problématique : combien de tableaux sont possibles, et quelle est la probabilité d'un pronostic parfait ?

2. 2. Mathématiques : 2⁶³ issues

   4 min

   Nombre de matchs : chaque match élimine une équipe, et il faut en éliminer 63 pour qu'il reste un champion. Il y a donc 63 matchs : $32+16+8+4+2+1=63$32+16+8+4+2+1=63.

   Nombre de tableaux : chaque match a 2 issues possibles. Par le principe multiplicatif, il y a $2^{63}$2⁶³ tableaux différents. $2^{63}=9223372036854775808\approx 9,2\times 10^{18}$2⁶³=9 223 372 036 854 775 808≈9,2×10¹⁸. Le logarithme donne l'ordre de grandeur : $63{\log }_{10}2\approx 18,96$63log₁₀2≈18,96.

   Au hasard : la probabilité de remplir le tableau parfait vaut $\frac{1}{2^{63}}\approx 1,1\times 10^{-19}$1/2⁶³≈1,1×10⁻¹⁹. Si chaque habitant de la Terre remplissait un milliard de tableaux différents, on n'en couvrirait qu'une petite fraction.

   Avec un expert : supposons qu'un connaisseur prévoie chaque match avec une probabilité de 0,7, de façon indépendante. La probabilité d'un tableau parfait vaut $0,7^{63}\approx 1,7\times 10^{-10}$0,7⁶³≈1,7×10⁻¹⁰, soit environ une chance sur 6 milliards. C'est beaucoup mieux que le hasard, mais toujours négligeable. Même à 80 % par match : $0,8^{63}\approx 7,8\times 10^{-7}$0,8⁶³≈7,8×10⁻⁷, environ une chance sur 1,3 million.

   Le produit de nombreuses probabilités inférieures à 1 devient très petit : c'est la croissance exponentielle « à l'envers ». En pratique, aucun tableau parfait vérifié n'a jamais été rempli, et les meilleurs pronostics se trompent souvent dès le premier week-end.

3. 3. In English: the billion-dollar bracket

   3 min

   "March Madness" is the popular name of the NCAA basketball tournament, played every spring. Filling in a bracket has become a national ritual: colleagues organise office pools, and even presidents have published their predictions. In 2014, the billionaire Warren Buffett and the company Quicken Loans offered one billion dollars to anyone who could predict every game correctly. The offer was not very risky: after only two days of the tournament, no bracket among millions was still perfect.

   The tournament is famous for its "upsets", when a small college beats a famous one. In 2018, the University of Maryland, Baltimore County, ranked 16th in its group, became the first 16th seed to beat a 1st seed, Virginia. Such surprises are what make the tournament exciting, and they are also what makes prediction impossible. College sport is a huge business in the United States, although, for a long time, the student athletes themselves were not paid, a situation that changed only recently.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec 63 matchs, il y a $2^{63}\approx 9,2\times 10^{18}$2⁶³≈9,2×10¹⁸ tableaux possibles, et même un expert à 70 % par match n'a qu'environ une chance sur 6 milliards de tout prévoir. Le principe multiplicatif rend le pronostic parfait pratiquement impossible. J'ouvre sur les surprises du tournoi, comme la victoire historique d'UMBC en 2018.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Compter 64 matchs au lieu de 63.
• Additionner les probabilités au lieu de les multiplier.
• Croire qu'un expert rend le pronostic parfait probable.

Revoir les notions

• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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