Dérivation locale en Première spé maths

Dérivation locale en Première spé : cours complet

La dérivation est l'un des concepts centraux de l'analyse mathématique. Elle permet de mesurer la vitesse de variation d'une fonction. En Première spé, tu découvres le nombre dérivé, la tangente et tu commences à calculer des dérivées.

Nombre dérivé

Définition

Soit $f$f une fonction définie sur un intervalle $I$I et $a\in I$a ∈ I. Le nombre dérivé de $f$f en $a$a, noté $f^{\prime }(a)$f'(a), est :

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$f'(a) = lim_h → 0 (f(a + h) - f(a))/h

(quand cette limite existe).

Interprétation

C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$f au point d'abscisse $a$a.

Exemple

Pour $f(x)=x^2$f(x) = x² en $a=3$a = 3 :

$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h{)}^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$$(f(3 + h) - f(3))/h = ((3+h)² - 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h

Quand $h\to 0$h → 0 : $f^{\prime }(3)=6$f'(3) = 6.

Tangente à une courbe

Équation de la tangente

L'équation de la tangente à la courbe de $f$f au point $A(a;f(a))$A(a ; f(a)) est :

$$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$y = f'(a)(x - a) + f(a)

Lecture graphique

• $f^{\prime }(a)>0$f'(a) > 0 : tangente croissante.
• $f^{\prime }(a)<0$f'(a) < 0 : tangente décroissante.
• $f^{\prime }(a)=0$f'(a) = 0 : tangente horizontale.

Exemple

Pour $f(x)=x^2$f(x) = x², $f^{\prime }(3)=6$f'(3) = 6, $f(3)=9$f(3) = 9. Tangente en $A(3;9)$A(3 ; 9) :

$$y=6(x-3)+9=6x-9$$y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9

Fonction dérivée

Définition

La fonction dérivée $f^{\prime }$f' associe à chaque $x$x le nombre dérivé $f^{\prime }(x)$f'(x).

Notation

On note $f^{\prime }$f' ou $\frac{df}{dx}$df/dx ou $\dot{f}$dotf.

Dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les dérivées

Somme

$$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$$(u + v)' = u' + v'

Produit par un scalaire

$$(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$$(k u)' = k u'

Produit

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$(uv)' = u'v + uv'

Quotient

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$(u/v)' = (u'v - uv')/v²

Inverse

$${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$$(1/v)' = -v'/v²

Exemples

Exemple 1

$$f(x)=3x^2-5x+1⟹f^{\prime }(x)=6x-5$$f(x) = 3x² - 5x + 1 ⇒ f'(x) = 6x - 5

Exemple 2

$$f(x)=(2x+1)(x^2-3)$$f(x) = (2x + 1)(x² - 3)

Produit : $u=2x+1$u = 2x + 1, $v=x^2-3$v = x² - 3, $u^{\prime }=2$u' = 2, $v^{\prime }=2x$v' = 2x.

$$f^{\prime }(x)=2(x^2-3)+(2x+1)(2x)=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$$f'(x) = 2(x² - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x² - 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x - 6

Exemple 3

$$f(x)=\frac{x+1}{x-2}$$f(x) = (x + 1)/(x - 2)

Quotient : $u=x+1$u = x + 1, $v=x-2$v = x - 2, $u^{\prime }=1$u' = 1, $v^{\prime }=1$v' = 1.

$$f^{\prime }(x)=\frac{1\times (x-2)-(x+1)\times 1}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}$$f'(x) = (1 × (x - 2) - (x + 1) × 1)/((x - 2)²) = (-3)/((x - 2)²)

Lien avec les variations

$$f^{\prime }>0\text{ sur }I⟹f\text{ est croissante sur }I$$f' > 0 sur I ⇒ f est croissante sur I

$$f^{\prime }<0\text{ sur }I⟹f\text{ est deˊcroissante sur }I$$f' < 0 sur I ⇒ f est décroissante sur I

$$f^{\prime }(x_0)=0\text{ et }{f}^{\prime }\text{ change de signe en }{x}_0⟹x_0\text{ est un extremum}$$f'(x₀) = 0 et f' change de signe en x₀ ⇒ x₀ est un extremum

Erreurs fréquentes à éviter

• $f^{\prime }$f' de $x^n$xⁿ : erreur sur l'exposant : $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$f'(x) = n xⁿ⁻¹, pas $x^n$xⁿ.
• Mauvais signe pour $(1/x{)}^{\prime }$(1/x)' ou $(\cos {)}^{\prime }$(cos)'.
• Mauvaise formule du produit : pas $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$(uv)' = u'v'.
• Oublier que la tangente passe par $A(a;f(a))$A(a ; f(a)), pas par l'origine.

FAQ — La dérivation locale

Pourquoi étudier la dérivée ?

Pour étudier les variations d'une fonction, trouver les extremums, calculer des vitesses en physique, optimiser en économie.

La dérivée d'une constante est-elle vraiment $0$0 ?

Oui : une constante ne varie pas, donc sa vitesse de variation est nulle.

À quoi sert la tangente ?

À approcher localement la courbe par une droite, et donc prévoir des valeurs proches.

Comment vérifier un calcul de dérivée ?

En redéveloppant ou en testant un cas simple, ou avec une calculatrice graphique.