Comment un État américain a-t-il pu perdre un siège quand le nombre total de sièges augmentait ? Le paradoxe de l'Alabama

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la Constitution américaine, qui prévoit de répartir les sièges de la Chambre des représentants selon la population de chaque État après chaque recensement. J'ai découvert qu'en 1880 un calcul avait montré un résultat absurde : l'Alabama perdait un siège si l'on agrandissait la Chambre. J'ai voulu comprendre ce paradoxe avec un exemple simple.

L'enjeu et les notions du programme

Appliquer une méthode de répartition par quotas et restes, et construire un exemple qui exhibe un paradoxe.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   La Constitution américaine impose de répartir les sièges de représentants entre les États « selon leur population ». Mais on ne peut pas attribuer des fractions de siège. Problématique : comment arrondir équitablement, et pourquoi une méthode naturelle produit-elle un paradoxe ?

2. 2. Mathématiques : la méthode de Hamilton

   4 min

   Méthode de Hamilton (ou du plus fort reste) : on calcule le quota de chaque État, $q_i=\frac{{\text{population}}_i}{\text{population totale}}\times \text{nombre de sieˋges}$qᵢ=(population ᵢ)/(population totale)× nombre de sièges. Chaque État reçoit la partie entière de son quota ; les sièges restants vont aux États qui ont les plus grandes parties décimales.

   Exemple : trois États A, B, C de populations 6, 6 et 2 (en millions), total 14.

   Avec 10 sièges : quotas $\frac{6}{14}\times 10\approx 4,29$6/14×10≈4,29, $4,29$4,29 et $\frac{2}{14}\times 10\approx 1,43$2/14×10≈1,43. Parties entières : 4, 4, 1, soit 9 sièges. Le dernier siège va à la plus grande décimale, 0,43, donc à C. Résultat : 4, 4, 2.

   Avec 11 sièges : quotas $\frac{6}{14}\times 11\approx 4,71$6/14×11≈4,71, $4,71$4,71 et $\frac{2}{14}\times 11\approx 1,57$2/14×11≈1,57. Parties entières : 4, 4, 1. Les 2 sièges restants vont aux plus grandes décimales, 0,71 et 0,71, donc à A et B. Résultat : 5, 5, 1.

   C perd un siège alors que le total augmente : c'est le paradoxe de l'Alabama. La cause : les quotas des grands États augmentent plus en valeur absolue (+0,43) que celui du petit (+0,14), et leurs décimales le dépassent.

   En 1880, le bureau du recensement calcula que l'Alabama aurait 8 sièges avec une Chambre de 299 membres, mais 7 avec 300. Les mathématiciens Balinski et Young ont démontré en 1982 qu'aucune méthode ne peut à la fois éviter tous ces paradoxes et toujours rester entre la partie entière inférieure et supérieure du quota.

3. 3. In English: counting people, sharing power

   3 min

   Article I of the Constitution requires a census every ten years, and the House of Representatives is reapportioned after each one. The first method was proposed by Alexander Hamilton in 1792, but President Washington vetoed it, the first presidential veto in American history, and Jefferson's method was used instead. Hamilton's method was adopted later, until the paradoxes of the late nineteenth century led to its abandonment.

   Since 1941, the United States has used the Huntington-Hill method, which rounds quotas using a geometric mean. Since 1911, the size of the House has been fixed at 435 seats, so states gain or lose seats only through population changes. After the 2020 census, Texas gained two seats, while states such as New York lost one: New York missed keeping its seat by only 89 residents. These figures show that the way we round numbers is not a technical detail: it shares political power.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec la méthode de Hamilton, passer de 10 à 11 sièges fait perdre un siège au petit État : 4, 4, 2 devient 5, 5, 1. Arrondir des quotas peut produire des paradoxes, et aucune méthode ne les évite tous. J'ouvre sur la méthode de Huntington-Hill, utilisée aujourd'hui, et sur le théorème de Balinski et Young.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier que la somme des parties entières est inférieure au total.
• Croire qu'une méthode d'arrondi est neutre.
• Confondre quota et nombre de sièges.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Algorithmique et Python (Seconde) →

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