Faut-il répondre au hasard à la dernière question de Qui veut gagner des millions ? Espérance et décision

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié les émissions de télévision comme reflets de la culture britannique, et Who Wants to Be a Millionaire?, créée au Royaume-Uni en 1998, a été adaptée dans plus de cent pays. Je me suis demandé comment un candidat devrait décider de continuer ou de s'arrêter. J'ai découvert que l'espérance mathématique donne une réponse, mais qu'elle ne suffit pas à expliquer les choix des candidats.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer l'espérance de gain de différentes décisions, la comparer à un gain certain et discuter le rôle du risque.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le candidat répond à des questions à quatre choix, de plus en plus difficiles. À tout moment, il peut s'arrêter et garder ses gains. Problématique : face à la question à un million, quand vaut-il mieux répondre, et quand faut-il s'arrêter ?

2. 2. Mathématiques : l'espérance de gain

   4 min

   Situation : le candidat a gagné 500 000 £. S'il répond juste, il gagne 1 000 000 £ ; s'il se trompe, il retombe au palier garanti de 32 000 £. S'il s'arrête, il garde 500 000 £ avec certitude.

   Réponse au hasard parmi 4 : la probabilité de succès vaut $\frac{1}{4}$1/4. Gain $G$G : $E(G)=\frac{1}{4}\times 1000000+\frac{3}{4}\times 32000=250000+24000=274000$E(G)=1/4×1 000 000+3/4×32 000=250 000+24 000=274 000 £. C'est bien moins que 500 000 £ : il faut s'arrêter.

   Avec le joker 50/50, il reste 2 réponses : $E(G)=\frac{1}{2}\times 1000000+\frac{1}{2}\times 32000=516000$E(G)=1/2×1 000 000+1/2×32 000=516 000 £. L'espérance dépasse légèrement 500 000 £.

   Seuil : le candidat devrait répondre si $p\times 1000000+(1-p)\times 32000>500000$p×1 000 000+(1-p)×32 000>500 000, soit $968000p>468000$968 000 p>468 000, donc $p>\frac{468}{968}\approx 0,48$p>468/968≈0,48. Il faut être sûr à plus de 48 %.

   Mais l'espérance ne dit pas tout. Avec le 50/50, l'espérance gagne seulement 16 000 £, alors que le candidat risque de perdre 468 000 £ une fois sur deux. La plupart des gens préfèrent un gain certain à un pari d'espérance légèrement supérieure : c'est l'aversion au risque. L'utilité d'une somme d'argent n'est pas proportionnelle à son montant : 500 000 £ certains changent une vie, le second demi-million beaucoup moins.

3. 3. In English: "Is that your final answer?"

   3 min

   Who Wants to Be a Millionaire? was first broadcast on ITV in 1998, presented by Chris Tarrant. Its catchphrases, such as "Is that your final answer?" and "Phone a friend", became part of everyday language. The show was sold to more than a hundred countries, and its Indian version inspired the film Slumdog Millionaire, which won the Oscar for best picture in 2009.

   The British show is also remembered for a scandal: in 2001, Major Charles Ingram won the million pounds, but he was later convicted of cheating, because an accomplice in the audience coughed to signal the right answers. The story was adapted into a TV series, Quiz, in 2020. The show fascinates because it turns knowledge into money and shows ordinary people facing a dramatic choice under pressure: a perfect stage for observing how we really decide when the stakes are high.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Au hasard, l'espérance vaut 274 000 £, bien moins que les 500 000 £ assurés ; avec le 50/50, 516 000 £, à peine plus, pour un risque énorme. L'espérance donne un seuil de décision (plus de 48 % de certitude), mais l'aversion au risque explique pourquoi beaucoup s'arrêtent. J'ouvre sur les fonctions d'utilité, qui modélisent cette prudence.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier le palier garanti en cas d'erreur.
• Croire que l'espérance dicte la seule décision rationnelle pour un jeu unique.
• Confondre espérance et gain probable.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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