Pourquoi des produits financiers jugés sans risque se sont-ils effondrés en 2008 ? The Big Short et la corrélation

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la crise financière de 2008 aux États-Unis, et le film The Big Short (2015), adapté du livre de Michael Lewis, raconte comment quelques investisseurs ont parié contre le marché immobilier. Je me suis demandé comment des produits notés « AAA », la meilleure note, avaient pu perdre toute leur valeur. J'ai découvert que l'erreur portait sur une hypothèse de probabilités : l'indépendance.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer des probabilités d'événements simultanés sous hypothèse d'indépendance, et montrer l'effet d'une dépendance sur le risque.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans les années 2000, les banques américaines ont regroupé des milliers de prêts immobiliers dans des produits complexes, puis les ont découpés en « tranches » plus ou moins risquées. Les tranches supérieures étaient notées AAA, comme les emprunts d'État. Problématique : pourquoi ces produits, jugés presque sans risque, se sont-ils effondrés ?

2. 2. Mathématiques : indépendance ou dépendance

   4 min

   Modèle simplifié : un produit regroupe 5 prêts. Chacun fait défaut avec une probabilité de 5 %. La tranche supérieure ne perd de l'argent que si les 5 prêts font défaut.

   Si les défauts sont indépendants : $P(\text{5 deˊfauts})=0,05^5\approx 3,1\times 10^{-7}$P( 5 défauts )=0,05⁵≈3,1×10⁻⁷, moins d'une chance sur trois millions. La tranche semble presque parfaitement sûre. La probabilité qu'au moins un prêt fasse défaut vaut $1-0,95^5\approx 22,6\%$1-0,95⁵≈22,6 % : ce risque est concentré sur la tranche inférieure.

   Si les défauts sont parfaitement corrélés (tous ensemble ou aucun), par exemple parce qu'ils dépendent tous des prix immobiliers : $P(\text{5 deˊfauts})=P(\text{1 deˊfaut})=0,05$P( 5 défauts )=P( 1 défaut )=0,05. C'est $\frac{0,05}{3,1\times 10^{-7}}=160000$0,05/3,1×10⁻⁷=160 000 fois plus.

   Dans la réalité, les défauts ne sont ni indépendants ni parfaitement liés. Mais les modèles utilisés supposaient une corrélation faible, estimée sur une période où les prix immobiliers n'avaient jamais baissé au niveau national. Quand les prix ont chuté à partir de 2006, les défauts se sont produits en même temps, dans tout le pays.

   Avec la loi binomiale, valable seulement sous indépendance, $P(X\ge 3)$P(X≥3) pour 5 prêts vaut environ 0,1 % ; avec des défauts liés, ce risque devient bien plus élevé. La leçon : un calcul juste sur une hypothèse fausse donne un risque faux.

3. 3. In English: explaining finance with celebrities

   3 min

   The Big Short is famous for its unusual way of explaining complex finance: in the middle of the story, celebrities break the "fourth wall" and speak directly to the audience. The actress Margot Robbie explains subprime mortgages in a bubble bath, and the chef Anthony Bourdain compares a CDO to a fish stew made from leftover fish. The director, Adam McKay, wanted ordinary viewers to understand how the system worked.

   The film follows a few outsiders, such as the hedge fund manager Michael Burry, who read the details of mortgage loans and realised that many borrowers could never repay. They bet against the market and made fortunes, but the film does not present them as heroes: their gains came from a disaster that cost millions of Americans their homes and jobs. The end of the film notes that few bankers went to prison. It is both a lesson in finance and a political criticism of Wall Street.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Sous indépendance, 5 défauts simultanés ont une probabilité de $3\times 10^{-7}$3×10⁻⁷ ; avec des défauts liés, jusqu'à 5 %. L'hypothèse d'indépendance, fausse dans une crise générale, a fait croire à des produits sans risque. J'ouvre sur la régulation financière adoptée après 2008, qui oblige les banques à tester des scénarios de crise.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Utiliser l'indépendance sans la justifier.
• Confondre probabilité d'un défaut et de tous les défauts.
• Croire que les notations AAA étaient des garanties.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles et indépendance (Terminale spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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