Combien de frontières une carte politique peut-elle compter ? La formule d'Euler et les points triples
Sur une carte, les points où trois pays se rencontrent (points triples), les tronçons de frontière et les régions vérifient la formule d'Euler S − A + F = 2. Si chaque point est triple, chaque sommet touche 3 tronçons : 2A = 3S. Avec 10 points triples, il y a 15 tronçons et 7 régions (6 pays et la mer). La géométrie impose ces relations, quelle que soit la forme des pays.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
En HGGSP, en étudiant une carte de l'Europe, j'ai remarqué les nombreux « tripoints », ces endroits où trois pays se touchent, comme près de Schengen entre la France, l'Allemagne et le Luxembourg. Je me suis demandé s'il existait une relation entre le nombre de pays, de frontières et de tripoints. J'ai découvert la formule d'Euler, qui relie ces nombres pour toute carte.
L'enjeu et les notions du programme
Utiliser la formule d'Euler et un double comptage pour établir des relations entre les éléments d'une carte.
Mathématiques
- Dénombrement, double comptage (terminale)
- Systèmes d'équations linéaires (seconde)
- Pour aller plus loin : graphes planaires (maths expertes)
Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques
- Étudier les divisions politiques du monde : les frontières (première, thème 3)
- Frontières et coopérations : l'espace Schengen (première, thème 3)
Le plan de l'exposé en 9,5 min
1. Introduction
1 minUne carte politique découpe un territoire en pays, séparés par des frontières qui se rejoignent en certains points. Problématique : existe-t-il une loi qui relie le nombre de pays, de tronçons de frontière et de points de rencontre ?
2. Mathématiques : la formule d'Euler
4,5 minOn modélise la carte comme un graphe planaire : les sommets S sont les points où se rencontrent au moins trois régions, les arêtes A sont les tronçons de frontière entre deux sommets, et les faces F sont les régions, y compris la mer qui entoure le continent. Pour toute carte d'un seul tenant, la formule d'Euler s'applique : S-A+F=2.
Double comptage : si chaque sommet est un point triple, il touche exactement 3 tronçons. Chaque tronçon a 2 extrémités. En comptant les extrémités de deux façons : 3S=2A.
Exemple : 10 points triples. Alors A=3×10/2=15 tronçons, et F=2+A-S=2+15-10=7 régions : 6 pays et la mer.
En général, avec des points triples, F=2+S/2 : le nombre de régions est fixé par le nombre de points triples. Un point où quatre pays se rencontrent (comme le « Four Corners » aux États-Unis, entre quatre États) est exceptionnel : une légère modification le transforme en deux points triples.
3. HGGSP : des points de rencontre chargés d'histoire
2,5 minLes tripoints sont souvent marqués par des bornes et sont parfois des lieux symboliques : le village de Schengen, près du tripoint France-Allemagne-Luxembourg, a donné son nom aux accords de 1985 sur la libre circulation. D'autres tripoints ont été disputés ou déplacés au gré des traités.
La formule d'Euler montre que la structure d'une carte obéit à des contraintes indépendantes des formes : on ne peut pas ajouter un pays sans modifier le nombre de points de rencontre et de tronçons. Elle est aussi à la base du théorème des quatre couleurs, qui garantit qu'on peut colorier toute carte politique avec quatre couleurs.
4. Conclusion
1,5 minPour une carte où toutes les rencontres sont des points triples, S-A+F=2 et 3S=2A : 10 points triples imposent 15 tronçons et 7 régions. Une formule d'Euler et un double comptage relient les éléments de toute carte politique. J'ouvre sur le théorème des quatre couleurs, démontré en 1976.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
S=10⇒ A=15⇒ F=2+15-10=7 (6 pays + la mer ) F=2+S/2
Conclusion : la réponse à la question
La formule d'Euler, valable pour toute carte, et un double comptage imposent des relations précises entre pays, frontières et points de rencontre. La géométrie de la carte obéit à des lois, quelle que soit l'histoire des frontières.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Vérifiez la formule d'Euler pour un cube.
8 sommets, 12 arêtes, 6 faces : 8 − 12 + 6 = 2.
Combien de régions avec 20 points triples ?
F=2+20/2=12.
Pourquoi 3S = 2A ?
On compte les extrémités de tronçons : 3 par sommet, et 2 par tronçon.
D'où vient le nom des accords de Schengen ?
Du village luxembourgeois proche du tripoint avec la France et l'Allemagne, où ils ont été signés en 1985.
Que dit le théorème des quatre couleurs ?
Toute carte plane peut être coloriée avec quatre couleurs sans que deux pays voisins aient la même.
Les pièges qui coûtent des points
- Oublier de compter la mer comme une région.
- Appliquer 3S = 2A s'il existe des points où quatre pays se rencontrent.
- Oublier qu'une enclave ou une île change la connexité de la carte.
Revoir les notions
Autres questions : frontières et territoires
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Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →