Comment calcule-t-on la superficie d'un territoire à partir des coordonnées de ses frontières ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié des territoires aux frontières complexes et je me suis demandé comment on calcule précisément leur superficie. J'ai découvert que les géographes et les logiciels de cartographie utilisent une formule étonnamment simple, qui ne demande que les coordonnées des points de la frontière. Elle repose sur l'aire de triangles et sur le déterminant de deux vecteurs.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer l'aire d'un polygone à partir de coordonnées par une somme de déterminants, et l'appliquer à un territoire.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une frontière se représente dans un logiciel de cartographie par une suite de points de coordonnées connues, reliés par des segments : un polygone. Problématique : comment calculer l'aire de ce polygone, même s'il a une forme compliquée ?

2. 2. Mathématiques : la formule du lacet

   4,5 min

   L'aire du triangle formé par l'origine O et deux points $A(x_1;y_1)$A(x₁;y₁), $B(x_2;y_2)$B(x₂;y₂) vaut $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$1/2|x₁y₂-x₂y₁| : la moitié de la valeur absolue du déterminant des vecteurs $\overrightarrow{OA}$vecteur OA et $\overrightarrow{OB}$vecteur OB. Le signe indique le sens de rotation de A vers B.

   Pour un polygone de sommets $P_1,\dots ,P_n$P₁,…,Pₙ parcourus dans l'ordre, on additionne les aires orientées des triangles $O{P}_i{P}_{i+1}$OPᵢPᵢ₊₁ : les parties extérieures se compensent. On obtient la formule du lacet : $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|{\sum }_{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)\right|$mathcal A=1/2|Σ_i=1ⁿ(xᵢyᵢ₊₁-xᵢ₊₁yᵢ)|, avec $P_{n+1}=P_1$Pₙ₊₁=P₁.

   Exemple : sommets (0 ; 0), (6 ; 0), (8 ; 4), (3 ; 7), (−1 ; 3). Les termes valent $0$0, $6\times 4-8\times 0=24$6×4-8×0=24, $8\times 7-3\times 4=44$8×7-3×4=44, $3\times 3-(-1)\times 7=16$3×3-(-1)×7=16, $-1\times 0-0\times 3=0$-1×0-0×3=0. Somme 84, aire 42 unités. Avec un quadrillage de 10 km, 4 200 km².

   Le Wyoming est un « rectangle » de 7° de longitude sur 4° de latitude : environ $7\times 111,2\times \cos 43°\approx 569$7×111,2×cos43°≈569 km sur $4\times 111,2\approx 445$4×111,2≈445 km, soit environ 253 000 km², très proche des 253 300 km² officiels (le cosinus est pris à la latitude moyenne).

3. 3. HGGSP : mesurer un territoire

   2,5 min

   Les systèmes d'information géographique calculent ainsi les superficies des pays, des zones protégées ou des parcelles, avec des milliers de sommets, après projection sur un plan adapté (une projection qui conserve les aires).

   La superficie est un enjeu politique : elle compte dans les représentations de la puissance, dans les revendications territoriales et dans la gestion des ressources. Les superficies officielles peuvent différer selon que l'on inclut les eaux intérieures, les territoires disputés ou la précision du tracé des frontières. Encore une donnée à lire avec sa méthode.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La formule du lacet donne l'aire d'un polygone à partir de ses seules coordonnées : 42 unités pour l'exemple, et environ 253 000 km² pour le Wyoming. Une somme de déterminants suffit à mesurer un territoire. J'ouvre sur le choix des projections, indispensable pour que l'aire calculée corresponde à la réalité.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de refermer le polygone (Pₙ₊₁ = P₁).
• Parcourir les sommets dans le désordre.
• Utiliser des coordonnées en degrés sans les convertir en distances.

Revoir les notions

• Vecteurs du plan (Seconde) →
• Géométrie repérée (Seconde) →

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