Question transversaleMathsHGGSPFrontières et territoires

Pourquoi l'Espagne et le Portugal n'annonçaient-ils pas la même longueur pour leur frontière commune ?

Q: Que vaut la dimension fractale d'une droite ?

1 : la longueur ne dépend pas de l'unité, $ε⁰=1$.

Q: Pourquoi la longueur tend-elle vers l'infini ?

Pour $D>1$, l'exposant $1-D$ est négatif : $ε^(1-D)→+∞$ quand $ε→0$.

Q: Comment mesurer D à partir de mesures ?

On trace $log L$ en fonction de $logε$ : la pente vaut $1-D$.

Le Portugal annonçait 1 214 km de frontière avec l'Espagne, l'Espagne 987 km. Plus l'unité de mesure est petite, plus on suit les détours et plus la longueur augmente. Pour une côte de dimension fractale D = 1,25, diviser l'unité par 2 multiplie la longueur par 2^0,25 ≈ 1,19, et la diviser par 10 par 10^0,25 ≈ 1,78.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié les frontières, et j'ai remarqué que des sources différentes donnaient des longueurs différentes pour une même frontière. Le mathématicien Lewis Fry Richardson avait relevé que l'Espagne et le Portugal ne s'accordaient pas sur la longueur de leur frontière. J'ai découvert que ce n'était pas une erreur, mais une propriété des lignes très irrégulières, que Benoît Mandelbrot a expliquée par les fractales.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre qu'une longueur dépend de l'échelle de mesure pour une courbe irrégulière, et quantifier cet effet par une loi en puissance.

Mathématiques

Fonctions puissances, exposants non entiers (première, terminale)
Logarithme : linéariser une loi en puissance (terminale)
Suites géométriques : longueur du flocon de Koch (première)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Étudier les divisions politiques du monde : les frontières (première, thème 3)
S'informer : la construction des données géographiques (première, thème 4)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Mesurer la longueur d'une frontière ou d'une côte semble simple. Pourtant, les sources officielles donnent des chiffres différents. Problématique : la longueur d'une frontière naturelle existe-t-elle vraiment, et de quoi dépend-elle ?
2. Mathématiques : une longueur qui dépend de l'échelle
4 min
On mesure une ligne avec un compas d'ouverture $ε$ ε : on reporte des segments de longueur $ε$ ε le long de la ligne. Pour une droite, le résultat ne dépend pas de $ε$ ε. Pour une côte découpée, un petit $ε$ ε suit des baies et des caps qu'un grand $ε$ ε coupait : la longueur augmente.
Richardson a observé que la longueur mesurée suit une loi en puissance : $L (ε) = c ε^{1 - D}$ L(ε)=c ε^(1-D), où $D$ D est la dimension fractale de la ligne (1 pour une droite, entre 1 et 2 pour une ligne irrégulière). Pour la côte ouest de la Grande-Bretagne, $D \approx 1, 25$ D≈1,25.
Diviser l'unité par 2 multiplie la longueur par $2^{D - 1} = 2^{0, 25} \approx 1, 19$ 2^(D-1)=2^(0,25)≈1,19 ; par 10, par $1 0^{0, 25} \approx 1, 78$ 10^(0,25)≈1,78. La longueur n'a pas de limite quand l'unité tend vers 0, car $ε^{1 - D} \to + \infty$ ε^(1-D)→+∞ pour $D > 1$ D>1.
En passant au logarithme : $lo g L = lo g c + (1 - D) lo g ε$ log L=log c+(1-D)logε. Le graphique de $lo g L$ log L en fonction de $lo g ε$ logε est une droite de pente $1 - D$ 1-D, ce qui permet de mesurer $D$ D. Pour l'Espagne et le Portugal, $\frac{1 214}{987} \approx 1, 23$ (1 214)/987≈1,23 : les deux pays avaient mesuré avec des unités différentes.
3. HGGSP : mesurer, c'est choisir
3 min
Les longueurs officielles des frontières et des côtes dépendent de l'échelle des cartes utilisées : elles ne sont comparables que si la méthode est la même. Un pays qui veut valoriser son littoral peut choisir une mesure fine.
Ces enjeux ne sont pas seulement théoriques : la longueur de la côte intervient dans le calcul des espaces maritimes, dans les budgets d'entretien ou de surveillance des frontières, et dans les statistiques internationales. Comme pour les cartes, une donnée géographique est une construction, dont il faut connaître la méthode.
4. Conclusion
1,5 min
La longueur d'une frontière découpée dépend de l'unité de mesure, selon $L \propto ε^{1 - D}$ L∝ε^(1-D) : avec $D = 1, 25$ D=1,25, diviser l'unité par 10 multiplie la longueur par 1,78. L'écart entre l'Espagne et le Portugal n'était pas une erreur. J'ouvre sur le flocon de Koch, figure de périmètre infini qui illustre ce paradoxe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

L (ε) = c ε^{1 - D} lo g L = lo g c + (1 - D) lo g ε L(ε)=c ε^(1-D) log L=log c+(1-D)logε D = 1, 25 : ε \div 2 \Rightarrow L \times 2^{0, 25} \approx 1, 19 ε \div 10 \Rightarrow L \times 1, 78 \frac{1 214}{987} \approx 1, 23 D=1,25: ε\div2\Rightarrow L\times2^(0,25)\approx1,19 ε\div10\Rightarrow L\times1,78 (1 214)/987\approx1,23

Conclusion : la réponse à la question

Une frontière naturelle n'a pas de longueur unique : elle dépend de l'échelle, selon une loi en puissance. Les fractales expliquent pourquoi des sources sérieuses peuvent annoncer des chiffres différents.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut la dimension fractale d'une droite ?

1 : la longueur ne dépend pas de l'unité, $ε^{0} = 1$ ε⁰=1.

Pourquoi la longueur tend-elle vers l'infini ?

Pour $D > 1$ D>1, l'exposant $1 - D$ 1-D est négatif : $ε^{1 - D} \to + \infty$ ε^(1-D)→+∞ quand $ε \to 0$ ε→0.

Comment mesurer D à partir de mesures ?

On trace $lo g L$ log L en fonction de $lo g ε$ logε : la pente vaut $1 - D$ 1-D.

Qui a popularisé les fractales ?

Benoît Mandelbrot, notamment dans un article de 1967 sur la longueur de la côte de Bretagne.

Une frontière tracée en ligne droite a-t-elle ce problème ?

Non : sa longueur est bien définie, quelle que soit l'unité.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une des deux mesures est fausse.
Oublier que l'exposant est négatif.
Comparer des longueurs mesurées à des échelles différentes.

Revoir les notions

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