Comment les Spartiates chiffraient-ils leurs messages en enroulant une lanière autour d'un bâton ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons évoqué la guerre dans l'Antiquité grecque. J'ai découvert que les Spartiates utilisaient la scytale, un bâton autour duquel on enroulait une lanière de cuir pour écrire un message secret. J'ai voulu comprendre ce procédé, qui ne remplace aucune lettre, et j'ai découvert qu'il se décrit par la division euclidienne et les diviseurs d'un nombre.

L'enjeu et les notions du programme

Décrire une transposition par la division euclidienne des positions, dénombrer les clés possibles par les diviseurs et analyser sa faiblesse.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On enroule une lanière autour d'un bâton, on écrit le message en lignes le long du bâton, puis on déroule : les lettres apparaissent mélangées. Seul un bâton de même diamètre permet de relire. Problématique : quel est le principe mathématique de ce mélange, et protège-t-il bien ?

2. 2. Mathématiques : lire une lettre sur k

   4 min

   Un message de $n=24$n=24 lettres est écrit sur un bâton qui présente 4 tours de lanière, chacun portant 6 lettres : on remplit un tableau de 4 lignes et 6 colonnes, ligne par ligne. Déroulée, la lanière se lit colonne par colonne : on lit les lettres de rang 1, 7, 13, 19, puis 2, 8, 14, 20, etc.

   Une lettre en position $p$p (de 0 à 23) se trouve à la ligne $q$q et à la colonne $r$r, avec $p=6q+r$p=6q+r : c'est la division euclidienne de $p$p par 6. La lecture en colonnes la place en position $4r+q$4r+q. Le chiffrement est une permutation des positions, définie par la division euclidienne.

   Les lettres sont toutes conservées, avec leurs fréquences : un ennemi sait immédiatement qu'il s'agit d'une transposition (l'indice de coïncidence est celui de la langue). La clé est le nombre de colonnes, qui doit diviser la longueur du message (à quelques lettres de remplissage près). Pour 24 lettres, les diviseurs utiles sont 2, 3, 4, 6, 8, 12 : six essais suffisent pour retrouver le message.

   Une transposition quelconque de 24 lettres aurait $24!\approx 6\times 10^{23}$24!≈6×10²³ clés, mais la scytale n'en utilise qu'une poignée.

3. 3. HGGSP : du bâton spartiate aux chiffres militaires

   3 min

   Plutarque décrit l'usage de la scytale par les éphores de Sparte pour envoyer des ordres aux généraux en campagne, comme Lysandre. Son vrai rôle fait débat chez les historiens : certains y voient plutôt un moyen d'authentifier un message que de le cacher.

   Les transpositions ont été utilisées jusqu'au XXᵉ siècle, souvent combinées à des substitutions. Le chiffre allemand ADFGVX de 1918, cassé par le Français Georges Painvin, associait une substitution et une transposition. Combiner les deux procédés est une idée qui se retrouve dans les chiffrements modernes, qui alternent mélanges et remplacements.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La scytale permute les positions des lettres selon une division euclidienne ; sa clé est un diviseur de la longueur du message, et quelques essais suffisent à la casser. La transposition seule protège peu, mais combinée à la substitution, elle a traversé l'histoire du chiffrement. J'ouvre sur le chiffre ADFGVX de la Première Guerre mondiale.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre transposition (mélange des positions) et substitution (remplacement des lettres).
• Oublier que la clé doit être un diviseur.
• Croire que 24! clés protègent la scytale, qui n'en utilise que quelques-unes.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Combinatoire et dénombrement (Terminale spé maths) →

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