Question transversaleMathsHGGSPRenseignement et codes secrets

Comment cacher un message dans une simple photo sans que personne ne le remarque ?

Une photo Full HD contient 1 920 × 1 080 pixels de 3 octets chacun. En remplaçant le dernier bit de chaque octet par un bit du message, on modifie chaque couleur d'au plus 1 sur 255, soit 0,4 % : invisible. On peut ainsi cacher 6 220 800 bits, soit 777 600 octets, l'équivalent d'un livre. La stéganographie cache l'existence même du message.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié le renseignement à l'ère numérique et j'ai lu que des espions ou des groupes criminels cachaient des messages dans des images anodines publiées en ligne. J'ai voulu comprendre comment c'est possible sans que l'image change visiblement. La réponse tient à l'écriture binaire des couleurs et au poids de chaque bit.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'écriture binaire et la valeur des bits pour majorer une modification, puis calculer une capacité de stockage par dénombrement.

Mathématiques

Écriture binaire, puissances de 2 (seconde)
Erreur absolue et relative (seconde)
Principe multiplicatif, ordres de grandeur (terminale, seconde)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

L'enjeu de la connaissance : le cyberespace et le renseignement (terminale, thème 6)
Liberté ou contrôle de l'information (première, thème 4, axe 2)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le chiffrement rend un message illisible, mais révèle qu'il existe un secret. La stéganographie, au contraire, cache le message dans un support anodin. Problématique : comment cacher des données dans une image sans la modifier visiblement, et quelle quantité peut-on cacher ?
2. Mathématiques : le bit de poids faible
4 min
Chaque pixel a trois composantes (rouge, vert, bleu), chacune codée sur un octet de 8 bits, de 0 à 255. Un octet $b_{7} b_{6} \dots b_{0}$ b₇b₆… b₀ vaut $b_{7} \times 2^{7} + \dots + b_{1} \times 2 + b_{0}$ b₇×2⁷+…+b₁×2+b₀. Le dernier bit, $b_{0}$ b₀, ne pèse que 1.
En remplaçant $b_{0}$ b₀ par un bit du message, on modifie la valeur d'au plus 1 : par exemple 200 (11001000) devient 201 (11001001). L'écart relatif est au plus $\frac{1}{255} \approx 0, 4 %$ 1/255≈0,4 %, imperceptible à l'œil, surtout dans une photo naturelle déjà bruitée.
Capacité d'une image Full HD : $1920 \times 1080 = 2073600$ 1 920×1 080=2 073 600 pixels, $\times 3$ ×3 composantes, soit $6220800$ 6 220 800 octets. Avec un bit caché par octet : $6220800$ 6 220 800 bits, soit $777600$ 777 600 octets. C'est la taille d'un long roman en texte brut.
Avec 2 bits cachés par octet, la capacité double, mais la modification atteint 3 sur 255 : plus risquée. Il faut aussi que l'image ne soit pas recompressée (le format JPEG détruit souvent ces bits).
3. HGGSP : cacher, détecter, surveiller
3 min
La stéganographie est ancienne : Hérodote raconte un message tatoué sur le crâne rasé d'un messager ; pendant la Seconde Guerre mondiale, on utilisait les micropoints et les encres invisibles. Le numérique l'a rendue très puissante : des milliards d'images circulent chaque jour.
Les services de renseignement développent la stéganalyse : des tests statistiques détectent les anomalies dans la distribution des bits de poids faible. Le sujet touche à l'équilibre entre sécurité et libertés : la même technique protège des journalistes ou des dissidents dans des pays autoritaires, et peut servir à des réseaux criminels.
4. Conclusion
1,5 min
En remplaçant le bit de poids faible de chaque couleur, on modifie l'image d'au plus 0,4 %, de façon invisible, et l'on cache près de 780 000 octets dans une photo Full HD. L'écriture binaire explique la discrétion, le dénombrement la capacité. J'ouvre sur la stéganalyse, qui cherche ces messages par la statistique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

b_{7} \dots b_{1} b_{0} = \sum b_{i} 2^{i} b_{0} change la valeur d’au plus 1 : \frac{1}{255} \approx 0, 4 % b₇\dots b₁b₀=Σ bᵢ2ⁱ b₀ change la valeur d'au plus 1: 1/255\approx0,4 % 1920 \times 1080 \times 3 = 6220800 octets \Rightarrow 6220800 bits = 777600 octets cach \overset{e}{ˊ} s 1 920\times1 080\times3=6 220 800 octets \Rightarrow 6 220 800 bits =777 600 octets cachés

Conclusion : la réponse à la question

La stéganographie exploite le faible poids du dernier bit : une modification invisible, une capacité considérable. Les mathématiques de l'écriture binaire éclairent un enjeu du renseignement numérique.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que devient 200 si l'on cache le bit 1 ?

201 : 11001000 devient 11001001.

Quelle différence entre stéganographie et cryptographie ?

La cryptographie rend le message illisible ; la stéganographie cache son existence.

Pourquoi la compression JPEG détruit-elle le message ?

Elle modifie les valeurs des pixels pour gagner de la place, ce qui change les bits de poids faible.

Combien de bits cachés dans une image de 1 000 × 1 000 pixels ?

3 millions de bits, soit 375 000 octets.

Qu'est-ce que la stéganalyse ?

La détection de messages cachés, souvent par des tests statistiques sur les bits.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre bits et octets dans la capacité.
Croire qu'une image compressée garde le message.
Confondre cacher un message et le chiffrer.

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