Encadrez Hₙ par des intégrales.

$∫₁ⁿ⁺¹dx/x≤ Hₙ≤1+∫₁ⁿdx/x$, soit $ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n$.

Pourquoi la somme Hₙ tend-elle vers l'infini ?

Elle est au moins égale à $ln(n+1)$, qui tend vers $+∞$.

Question transversaleMathsNSIHasard et simulation

Combien de vignettes faut-il acheter en moyenne pour compléter un album de 600 images ?

Q: Pourquoi l'attente de la dernière vignette vaut-elle n en moyenne ?

Il reste une vignette sur $n$ : la probabilité de succès est $1/n$, l'espérance géométrique $n$.

Q: Qu'est-ce que la linéarité de l'espérance ?

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$, valable même sans indépendance.

Quand on possède déjà k vignettes sur n, la suivante est nouvelle avec la probabilité (n − k)/n : l'attente suit une loi géométrique d'espérance n/(n − k). En sommant, on obtient n(1 + 1/2 + … + 1/n) ≈ n ln n : environ 4 185 vignettes pour un album de 600, sept fois plus que le nombre d'images.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant la Coupe du monde, j'ai collectionné les vignettes d'un album. Au début, chaque pochette apportait presque uniquement des nouveautés ; à la fin, je n'obtenais que des doubles. J'ai voulu calculer combien il faudrait en acheter pour finir l'album, puis vérifier mon calcul par une simulation en Python.

L'enjeu et les notions du programme

Décomposer une attente en somme de lois géométriques, utiliser la linéarité de l'espérance et estimer une somme par le logarithme.

Mathématiques

Loi géométrique, espérance (terminale)
Linéarité de l'espérance (terminale)
Logarithme, encadrement d'une somme par une intégrale (terminale)

Numérique et sciences informatiques

Simulation, ensembles et dictionnaires (première)
Boucles et compteurs (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un album contient $n$ n vignettes différentes, et chaque vignette achetée est l'une d'elles au hasard, de façon équiprobable. Problématique : combien d'achats faut-il en moyenne pour toutes les avoir ?
2. Mathématiques : une somme de lois géométriques
4 min
On découpe la collection en étapes. Quand on possède déjà $k$ k vignettes différentes, chaque achat est nouveau avec la probabilité $p_{k} = \frac{n - k}{n}$ pₖ=(n-k)/n. Le nombre d'achats nécessaires pour en obtenir une nouvelle suit une loi géométrique de paramètre $p_{k}$ pₖ, d'espérance $\frac{n}{n - k}$ n/(n-k).
Le nombre total d'achats $T$ T est la somme de ces attentes, pour $k$ k de 0 à $n - 1$ n-1. Par linéarité : $E (T) = \frac{n}{n} + \frac{n}{n - 1} + \dots + \frac{n}{1} = n (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n})$ E(T)=n/n+n/(n-1)+…+n/1=n(1+1/2+…+1/n).
La somme $H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ Hₙ=1+1/2+…+1/n s'encadre par des intégrales de $\frac{1}{x}$ 1/x : $ln (n + 1) \leq H_{n} \leq 1 + ln n$ ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n. Plus précisément, $H_{n} \approx ln n + 0, 577$ Hₙ≈ln n+0,577. Pour $n = 600$ n=600 : $E (T) \approx 600 \times 6, 97 \approx 4185$ E(T)≈600×6,97≈4 185 vignettes.
Les dernières sont les plus chères : obtenir la dernière demande en moyenne 600 achats à elle seule, presque autant que les 400 premières réunies (environ 660).
3. NSI : simulation
3 min
En Python, on tire des nombres entre 1 et 600 et on les ajoute à un ensemble jusqu'à ce qu'il contienne 600 éléments, en comptant les tirages. En répétant 1 000 fois, la moyenne est proche de 4 185, avec de fortes variations d'une collection à l'autre.
On peut tester une stratégie : échanger ses doubles avec des amis. Si dix amis collectionnent ensemble, le nombre total d'achats pour compléter dix albums est bien inférieur à dix fois 4 185. On peut aussi calculer l'intérêt d'acheter les 50 dernières vignettes directement auprès de l'éditeur.
4. Conclusion
1,5 min
Compléter un album de $n$ n vignettes demande en moyenne $n H_{n} \approx n ln n$ n Hₙ≈ nln n achats, soit environ 4 185 pour 600 images. La linéarité de l'espérance découpe un problème difficile en étapes simples. J'ouvre sur le même calcul en informatique : le nombre de requêtes nécessaires pour toucher tous les serveurs d'un réseau au hasard.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (T) = k = 0 \sum n - 1 \frac{n}{n - k} = n (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) = n H_{n} E(T)=Σ_k=0ⁿ⁻¹n/(n-k)=n(1+1/2+\dots+1/n)=n Hₙ H_{n} \approx ln n + 0, 577 n = 600 : E (T) \approx 600 \times 6, 97 \approx 4185 Hₙ\approxln n+0,577 n=600: E(T)\approx600\times6,97\approx4 185

Conclusion : la réponse à la question

Le collectionneur paie surtout ses dernières vignettes : l'attente de chacune croît quand l'album se remplit. La somme des espérances géométriques, proche de $n ln n$ nln n, le quantifie.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'attente de la dernière vignette vaut-elle n en moyenne ?

Il reste une vignette sur $n$ n : la probabilité de succès est $\frac{1}{n}$ 1/n, l'espérance géométrique $n$ n.

Qu'est-ce que la linéarité de l'espérance ?

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ E(X+Y)=E(X)+E(Y), valable même sans indépendance.

Encadrez H_n par des intégrales.

$\int_{1}^{n + 1} \frac{d x}{x} \leq H_{n} \leq 1 + \int_{1}^{n} \frac{d x}{x}$ ∫₁ⁿ⁺¹dx/x≤ Hₙ≤1+∫₁ⁿdx/x, soit $ln (n + 1) \leq H_{n} \leq 1 + ln n$ ln(n+1)≤ Hₙ≤1+ln n.

Combien pour un album de 50 vignettes ?

$50 H_{50} \approx 225$ 50 H₅₀≈225 achats.

Pourquoi la somme H_n tend-elle vers l'infini ?

Elle est au moins égale à $ln (n + 1)$ ln(n+1), qui tend vers $+ \infty$ +∞.

Les pièges qui coûtent des points

Penser qu'il faut environ n achats.
Additionner des probabilités au lieu des espérances.
Oublier que le modèle suppose des vignettes équiprobables.

Revoir les notions

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