Question transversaleMathsNSIHasard et simulation

Comment un ordinateur, machine parfaitement déterministe, peut-il produire du hasard ?

Q: Pourquoi la suite est-elle forcément périodique ?

Elle ne prend que $m$ valeurs ; parmi $x₀,…,x_m$, deux sont égales (principe des tiroirs), et chaque terme ne dépend que du précédent.

Q: Calculez le terme qui suit 6 avec a = 5, c = 3, m = 16.

$5×6+3=33=2×16+1$ : c'est 1.

Un générateur congruentiel calcule xₙ₊₁ = reste de (a xₙ + c) par m. Avec a = 5, c = 3, m = 16, la suite parcourt les 16 valeurs avant de se répéter ; avec a = 4, c = 1, elle reste bloquée sur 5. C'est une suite récurrente, donc prévisible : du hasard « apparent », choisi avec soin.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, j'utilise sans cesse la fonction random de Python, et un jour j'ai remarqué qu'en fixant la « graine » avec random.seed, j'obtenais toujours les mêmes nombres. Cela m'a troublé : ce hasard n'en était donc pas un. J'ai voulu comprendre comment un ordinateur fabrique des nombres qui semblent aléatoires, et j'ai découvert qu'il s'agit d'une simple suite définie par récurrence.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une suite définie par récurrence sur des restes, sa périodicité, et discuter ce qu'est un « bon » hasard simulé.

Mathématiques

Suites définies par récurrence (première)
Division euclidienne, restes (seconde)
Loi uniforme, fréquences et fluctuation (seconde, première)

Numérique et sciences informatiques

Module random, graine (première)
Sécurité : nombres aléatoires en cryptographie (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un ordinateur exécute des instructions de façon déterministe : il ne peut pas « tirer au sort ». Problématique : comment produit-il des nombres qui ont l'air aléatoires, et quelles sont les limites de ce faux hasard ?
2. Mathématiques : une suite récurrente sur des restes
4 min
Un générateur congruentiel linéaire calcule $x_{n + 1} = (a x_{n} + c) mod m$ xₙ₊₁=(a xₙ+c)bmod m, c'est-à-dire le reste de la division de $a x_{n} + c$ a xₙ+c par $m$ m. Le premier terme $x_{0}$ x₀ est la graine. On obtient des entiers entre 0 et $m - 1$ m-1, qu'on divise par $m$ m pour avoir des nombres dans $[0; 1 [$ [0;1[.
Avec $a = 5$ a=5, $c = 3$ c=3, $m = 16$ m=16, $x_{0} = 7$ x₀=7 : 6, 1, 8, 11, 10, 5, 12, 15, 14, 9, 0, 3, 2, 13, 4, 7, puis 6 à nouveau. Les 16 valeurs apparaissent une fois chacune : la période est maximale.
La suite est forcément périodique : il n'y a que $m$ m valeurs possibles, donc deux termes finissent par coïncider, et dès lors tout se répète. Avec un mauvais choix, $a = 4$ a=4, $c = 1$ c=1 : 13, 5, 5, 5… la suite se bloque. Avec $a = 5$ a=5, $c = 0$ c=0 : 3, 15, 11, 7, 3… période 4. Un théorème (Hull et Dobell) donne les conditions sur $a$ a, $c$ c, $m$ m pour atteindre la période $m$ m.
3. NSI : de bons et de mauvais hasards
3 min
Python utilise un générateur plus élaboré, le Mersenne Twister, de période $2^{19937} - 1$ 2¹⁹⁹³⁷-1. Il passe de nombreux tests statistiques : fréquences uniformes, absence de corrélation entre termes successifs.
Mais il reste prévisible : qui connaît l'état interne connaît toute la suite. Pour la cryptographie, Python fournit le module secrets, qui puise dans des sources physiques (mouvements de souris, temps des interruptions). La graine a son utilité : elle rend une simulation reproductible, ce qui est indispensable pour corriger un programme ou vérifier une expérience.
4. Conclusion
1,5 min
Un ordinateur imite le hasard par une suite récurrente sur des restes : elle est périodique et prévisible, mais bien choisie, elle passe pour aléatoire. Pour simuler, cela suffit ; pour sécuriser, il faut une vraie source d'imprévisibilité. J'ouvre sur les générateurs quantiques, qui exploitent un hasard physique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

x_{n + 1} = (a x_{n} + c) mod m a = 5, c = 3, m = 16, x_{0} = 7 xₙ₊₁=(a xₙ+c)bmod m a=5, c=3, m=16, x₀=7 6, 1, 8, 11, 10, 5, 12, 15, 14, 9, 0, 3, 2, 13, 4, 7, 6, \dots (p \overset{e}{ˊ} riode 16) a = 4, c = 1 : 13, 5, 5, 5, \dots 6,1,8,11,10,5,12,15,14,9,0,3,2,13,4,7,6,\dots ( période 16) a=4, c=1: 13,5,5,5,\dots

Conclusion : la réponse à la question

Le hasard d'un ordinateur est une suite déterministe qui en a l'apparence. Les mathématiques des restes expliquent sa période et guident le choix des paramètres ; les statistiques jugent si l'imitation est réussie.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la suite est-elle forcément périodique ?

Elle ne prend que $m$ m valeurs ; parmi $x_{0}, \dots, x_{m}$ x₀,…,x_m, deux sont égales (principe des tiroirs), et chaque terme ne dépend que du précédent.

Calculez le terme qui suit 6 avec a = 5, c = 3, m = 16.

$5 \times 6 + 3 = 33 = 2 \times 16 + 1$ 5×6+3=33=2×16+1 : c'est 1.

À quoi sert random.seed ?

À fixer la graine pour obtenir la même suite à chaque exécution : la simulation devient reproductible.

Pourquoi ne pas utiliser random pour un mot de passe ?

Sa suite est prévisible si l'on reconstitue son état : on utilise le module secrets.

Comment tester qu'un générateur est uniforme ?

On compare les fréquences observées de chaque valeur à la probabilité théorique, avec un intervalle de fluctuation.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que l'ordinateur produit du vrai hasard.
Oublier que la suite est périodique.
Croire qu'une période longue suffit à faire un bon générateur.

Revoir les notions

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