Comment simuler un dé à six faces équitable avec une simple pièce de monnaie ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'un jeu de société, nous avions perdu le dé. Quelqu'un a proposé d'utiliser une pièce. Nous avons cherché comment, et nous avons vite compris qu'avec des lancers de pièce, on obtient des puissances de 2, jamais 6. En NSI, j'ai découvert la méthode du rejet, qui sert aussi à tirer des nombres au hasard dans un ordinateur.

L'enjeu et les notions du programme

Construire une loi uniforme sur 6 valeurs à partir de bits aléatoires, prouver qu'elle est uniforme et calculer le coût moyen avec une loi géométrique.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une pièce équilibrée donne un bit aléatoire. Avec $k$k lancers, on obtient $2^k$2^(k) issues équiprobables, jamais exactement 6. Problématique : comment obtenir un nombre de 1 à 6 parfaitement équiprobable, et combien de lancers faut-il en moyenne ?

2. 2. Mathématiques : rejeter pour rester uniforme

   4 min

   On lance la pièce trois fois et on lit le résultat comme un nombre binaire de 0 à 7, auquel on ajoute 1 : on obtient 1 à 8, chacun avec la probabilité $\frac{1}{8}$1/8. Si le résultat est entre 1 et 6, on le garde ; sinon, on recommence.

   Uniformité : notons $A$A l'événement « le résultat est entre 1 et 6 », de probabilité $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$6/8=3/4. Pour $k$k entre 1 et 6, $P(k\mid A)=\frac{1/8}{3/4}=\frac{1}{6}$P(k| A)=(1/8)/(3/4)=1/6. Chaque essai accepté donne une valeur uniforme, et comme les essais sont indépendants, le résultat final aussi.

   Coût : le nombre d'essais $N$N suit une loi géométrique de paramètre $p=\frac{3}{4}$p=3/4, d'espérance $\frac{1}{p}=\frac{4}{3}$1/p=4/3. Chaque essai coûte 3 lancers : en moyenne $3\times \frac{4}{3}=4$3×4/3=4 lancers. La probabilité de devoir faire plus de 3 essais est ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}$(1/4)³=1/64.

3. 3. NSI : la même méthode dans les ordinateurs

   3 min

   Un générateur fournit des bits. Pour tirer un entier entre 0 et $n-1$n-1, on prend assez de bits pour dépasser $n$n et on rejette les valeurs trop grandes. Prendre simplement le reste de la division par $n$n introduirait un biais : avec 3 bits et $n=6$n=6, les restes 0 et 1 sortiraient deux fois plus souvent (0, 1, 6, 7 donnent 0, 1, 0, 1).

   Python utilise ce rejet dans random.randint. On le programme avec une boucle « tant que » ; la terminaison n'est pas garantie en théorie, mais elle l'est avec une probabilité 1, et la boucle tourne en moyenne $\frac{4}{3}$4/3 fois.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Trois lancers et un rejet des valeurs 7 et 8 donnent un dé parfaitement équitable, pour un coût moyen de 4 lancers. Les probabilités conditionnelles prouvent l'uniformité, la loi géométrique mesure le coût. J'ouvre sur l'astuce inverse de von Neumann, qui fabrique une pièce équilibrée à partir d'une pièce truquée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Utiliser le reste de la division, qui introduit un biais.
• Confondre nombre d'essais et nombre de lancers.
• Oublier de justifier l'uniformité par une probabilité conditionnelle.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

Autres questions : hasard et simulation

• Comment un ordinateur, machine parfaitement déterministe, peut-il produire du hasard ?
• Comment mélanger une liste pour que tous les ordres soient vraiment équiprobables ?
• Peut-on obtenir un tirage parfaitement équitable avec une pièce truquée dont on ignore le biais ?
• Après n pas faits au hasard, à quelle distance de son point de départ se trouve-t-on ?

Toutes les questions maths-nsi →