Peut-on obtenir un tirage parfaitement équitable avec une pièce truquée dont on ignore le biais ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami prétendait que sa pièce tombait plus souvent sur pile. Pour décider qui commencerait une partie, nous voulions un tirage équitable sans savoir à quel point la pièce était truquée. J'ai découvert qu'en 1951, John von Neumann avait proposé une solution très simple, utilisée aujourd'hui pour corriger les générateurs de hasard physiques des ordinateurs.

L'enjeu et les notions du programme

Exploiter l'indépendance et la symétrie de deux probabilités pour éliminer un biais inconnu, puis calculer un coût moyen.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une pièce tombe sur pile avec une probabilité $p$p inconnue, peut-être différente de $\frac{1}{2}$1/2. Problématique : peut-on, avec cette pièce, produire un tirage à pile ou face rigoureusement équitable ?

2. 2. Mathématiques : une symétrie cachée

   4 min

   On lance deux fois, indépendamment. Probabilités : PP $p^2$p², PF $p(1-p)$p(1-p), FP $(1-p)p$(1-p)p, FF $(1-p{)}^2$(1-p)². Règle : PF donne « pile », FP donne « face », PP et FF font recommencer.

   Les deux issues retenues ont exactement la même probabilité $p(1-p)$p(1-p), quel que soit $p$p. Sachant qu'on s'arrête, chacune a donc la probabilité $\frac{1}{2}$1/2 : le tirage est parfaitement équitable, sans connaître $p$p.

   Coût : une paire réussit avec la probabilité $q=2p(1-p)$q=2p(1-p). Le nombre de paires suit une loi géométrique de paramètre $q$q, d'espérance $\frac{1}{q}$1/q. Pour $p=0,5$p=0,5 : $q=0,5$q=0,5, 2 paires (4 lancers) en moyenne. Pour $p=0,7$p=0,7 : $q=0,42$q=0,42, environ 2,38 paires, 4,8 lancers. La fonction $p\mapsto 2p(1-p)$p↦2p(1-p) est maximale en $p=\frac{1}{2}$p=1/2 : plus la pièce est truquée, plus il faut de lancers.

3. 3. NSI : corriger un hasard physique

   3 min

   Les processeurs récents produisent des bits à partir de phénomènes physiques (bruit électronique). Ces bits sont imprévisibles mais souvent biaisés. On applique l'astuce de von Neumann aux paires de bits : 01 donne 0, 10 donne 1, 00 et 11 sont jetés.

   L'astuce suppose que les lancers sont indépendants et que $p$p ne change pas. Si les bits successifs sont corrélés, il faut d'autres méthodes (fonctions de hachage). En Python, on vérifie par simulation avec une pièce de biais 0,7 : sur un million de tirages, la fréquence de « pile » est très proche de 0,5.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec une pièce truquée, les séquences pile-face et face-pile restent équiprobables : il suffit de ne garder qu'elles. Le prix est un nombre moyen de lancers $\frac{1}{p(1-p)}$1/(p(1-p)), d'autant plus grand que la pièce est déséquilibrée. J'ouvre sur l'extraction d'aléa, domaine qui généralise cette idée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'il faut connaître p.
• Oublier l'hypothèse d'indépendance.
• Compter en paires au lieu de lancers, ou l'inverse.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

Autres questions : hasard et simulation

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