Question transversaleMathsNSIHasard et simulation

Après n pas faits au hasard, à quelle distance de son point de départ se trouve-t-on ?

Q: Pourquoi V(Xᵢ) = 1 ?

$Xᵢ²=1$ toujours, donc $E(Xᵢ²)=1$, et $E(Xᵢ)=0$ : $V=1-0=1$.

Q: Combien de pas pour être typiquement à 50 pas du départ ?

$ √n =50$, donc $n=2 500$.

Q: Appliquez Bienaymé-Tchebychev avec a = 2√n.

$P(|Sₙ|≥2 √n )leqn/4n=1/4$.

Q: Quelle est la loi de (Sₙ + n)/2 ?

Le nombre de pas vers la droite, qui suit la loi binomiale $mathcal B (n,1/2)$.

Un marcheur fait n pas de ±1 au hasard. Sa position Sₙ a une espérance nulle mais une variance n, donc un écart type √n : après 100 pas, il est typiquement à une dizaine de pas de son départ ; après 10 000 pas, à une centaine. La distance croît comme la racine du temps.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons simulé un point qui avance au hasard d'un pas à gauche ou à droite. Sur l'écran, il s'éloignait lentement, alors que j'imaginais qu'il resterait autour de zéro, puisque les pas se compensent en moyenne. J'ai voulu savoir à quelle distance il se trouve typiquement, et j'ai découvert que la variance donne une réponse très précise.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'espérance et la variance d'une somme de variables indépendantes pour décrire une marche aléatoire, et confronter le résultat à une simulation.

Mathématiques

Somme de variables aléatoires indépendantes, espérance et variance (terminale)
Écart type, concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev (terminale)
Fonction racine carrée (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Simulation, module random (première)
Listes et représentation graphique de données (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un marcheur part de 0 et fait à chaque seconde un pas vers la gauche ou la droite, avec une chance sur deux. Problématique : puisque les pas se compensent en moyenne, s'éloigne-t-il, et de combien ?
2. Mathématiques : espérance nulle, variance n
4 min
Chaque pas $X_{i}$ Xᵢ vaut $+ 1$ +1 ou $- 1$ -1 avec probabilité $\frac{1}{2}$ 1/2 : $E (X_{i}) = 0$ E(Xᵢ)=0 et $V (X_{i}) = E (X_{i}^{2}) - 0^{2} = 1$ V(Xᵢ)=E(Xᵢ²)-0²=1. La position après $n$ n pas est $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ Sₙ=X₁+…+Xₙ.
Par linéarité, $E (S_{n}) = 0$ E(Sₙ)=0 : en moyenne, le marcheur est au départ. Mais les pas sont indépendants, donc les variances s'ajoutent : $V (S_{n}) = n$ V(Sₙ)=n. L'écart type, ordre de grandeur de la distance typique, vaut $n$ √n.
Après 100 pas : environ 10 ; après 10 000 pas : environ 100. Le marcheur s'éloigne, mais beaucoup moins vite qu'en ligne droite. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P (∣ S_{n} ∣ \geq 3 n) \leq \frac{1}{9}$ P(|Sₙ|≥3 √n )≤1/9 : il est rarement à plus de trois fois $n$ √n.
Remarque : le rapport $\frac{S _{n}}{n}$ Sₙ/n tend vers 0 (loi des grands nombres), alors que $S_{n}$ Sₙ lui-même peut devenir grand : il n'y a pas de contradiction.
3. NSI : simulation et applications
3 min
En Python, on simule 1 000 marches de $n$ n pas et on calcule la moyenne des carrés des positions finales : on trouve une valeur proche de $n$ n. On trace la racine de cette moyenne en fonction de $n$ n : la courbe suit $n$ √n.
Ce modèle décrit la diffusion d'une goutte d'encre dans l'eau, le mouvement brownien, le cours de bourse dans les modèles les plus simples, ou encore la propagation d'erreurs d'arrondi : additionner $n$ n erreurs indépendantes de signe aléatoire donne une erreur de l'ordre de $n$ √n fois une erreur, et non $n$ n fois.
4. Conclusion
1,5 min
Après $n$ n pas au hasard, on est en moyenne au départ, mais typiquement à une distance $n$ √n : c'est l'écart type de la somme. La variance, et non l'espérance, décrit l'éloignement. J'ouvre sur la question du retour : en dimension 1 ou 2, le marcheur revient presque sûrement à son point de départ, mais pas en dimension 3.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (X_{i}) = 0, V (X_{i}) = 1 S_{n} = \sum X_{i} : E (S_{n}) = 0, V (S_{n}) = n, σ (S_{n}) = n E(Xᵢ)=0, V(Xᵢ)=1 Sₙ=Σ Xᵢ: E(Sₙ)=0, V(Sₙ)=n, σ(Sₙ)= \sqrtn n = 100 : σ = 10 n = 10000 : σ = 100 P (∣ S_{n} ∣ \geq 3 n) \leq \frac{1}{9} n=100: σ=10 n=10 000: σ=100 P(|Sₙ|\geq3 \sqrtn )\leq1/9

Conclusion : la réponse à la question

Une marche aléatoire s'éloigne comme la racine du temps. L'additivité des variances pour des variables indépendantes explique ce comportement, que la simulation confirme.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi V(Xᵢ) = 1 ?

$X_{i}^{2} = 1$ Xᵢ²=1 toujours, donc $E (X_{i}^{2}) = 1$ E(Xᵢ²)=1, et $E (X_{i}) = 0$ E(Xᵢ)=0 : $V = 1 - 0 = 1$ V=1-0=1.

Pourquoi les variances s'additionnent-elles ?

Pour des variables indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances.

Combien de pas pour être typiquement à 50 pas du départ ?

$n = 50$ √n =50, donc $n = 2500$ n=2 500.

Appliquez Bienaymé-Tchebychev avec a = 2√n.

$P (∣ S_{n} ∣ \geq 2 n) \leq \frac{n}{4 n} = \frac{1}{4}$ P(|Sₙ|≥2 √n )leqn/4n=1/4.

Quelle est la loi de (Sₙ + n)/2 ?

Le nombre de pas vers la droite, qui suit la loi binomiale $B (n, \frac{1}{2})$ mathcal B (n,1/2).

Les pièges qui coûtent des points

Conclure de E(Sₙ) = 0 que le marcheur reste près du départ.
Additionner les écarts types au lieu des variances.
Confondre Sₙ et Sₙ/n.

Revoir les notions

Autres questions : hasard et simulation

Toutes les questions maths-nsi →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →