À pile ou face, pourquoi la séquence « face, pile » apparaît-elle plus vite que « pile, pile » ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami m'a proposé un pari : il gagnait si « pile, pile » sortait avant « face, pile ». Les deux séquences ont la même probabilité sur deux lancers, donc le pari semblait équitable. J'ai pourtant gagné bien plus souvent. En NSI, j'ai simulé ce jeu, puis j'ai cherché à comprendre mathématiquement pourquoi deux séquences équiprobables n'arrivent pas aussi vite.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer des temps d'attente moyens par un système d'équations sur des états, et confirmer par simulation.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Sur deux lancers, PP et FP ont chacune une probabilité $\frac{1}{4}$1/4. Problématique : quand on lance la pièce jusqu'à voir l'une d'elles, apparaissent-elles aussi vite ?

2. 2. Mathématiques : attentes moyennes par états

   4 min

   Attente de FP. On note $a$a l'attente moyenne au départ et $b$b l'attente quand le dernier lancer est F. Au départ, un lancer : F (on passe en $b$b) ou P (on reste au départ, car P ne commence pas FP). Donc $a=1+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}a$a=1+1/2b+1/2a. Depuis $b$b : P termine, F laisse en $b$b : $b=1+\frac{1}{2}b$b=1+1/2b, soit $b=2$b=2, puis $a=4$a=4.

   Attente de PP. $c$c au départ, $d$d après un P. $c=1+\frac{1}{2}d+\frac{1}{2}c$c=1+1/2d+1/2c ; depuis $d$d : P termine, F ramène au départ : $d=1+\frac{1}{2}c$d=1+1/2c. On résout : $c=2+d$c=2+d et $d=1+\frac{1}{2}c$d=1+1/2c, d'où $c=6$c=6.

   Pourquoi ? Un F « en trop » ne gâche pas FP (on attend toujours un P après un F), alors qu'un F après un P détruit le début de PP.

   Le pari : si les deux premiers lancers sont PP, PP gagne (probabilité $\frac{1}{4}$1/4). Sinon, un F est apparu ; dès lors, le premier PP serait forcément précédé d'un F, donc FP arrive avant. FP gagne avec la probabilité $\frac{3}{4}$3/4.

3. 3. NSI : simuler pour vérifier

   3 min

   En Python, on lance une pièce jusqu'à voir le motif, en mémorisant les deux derniers lancers, et on compte les lancers. Sur 100 000 essais, on obtient des moyennes proches de 4 et de 6. Le pari simulé donne FP gagnant environ 75 % du temps.

   L'état mémorisé (« dernier lancer ») est un petit automate, comme ceux qui servent à rechercher un motif dans un texte. Pour des motifs de trois lancers, l'effet est encore plus fort : contre PPP, le motif FPP gagne 7 fois sur 8, car PPP ne gagne que si les trois premiers lancers sont pile.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Deux séquences équiprobables n'arrivent pas aussi vite : FP en 4 lancers en moyenne, PP en 6, car un échec ne détruit pas FP. Un système d'équations sur les états le prouve, la simulation le confirme. J'ouvre sur le jeu de Penney, où le second joueur peut toujours choisir un motif qui bat celui du premier.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre probabilité d'apparition sur deux lancers et temps d'attente.
• Oublier qu'un F remet PP à zéro mais pas FP.
• Mal poser l'équation de l'état initial.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Calcul littéral et équations (Seconde) →

Autres questions : hasard et simulation

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