Question transversaleMathsNSIHasard et simulation

Pourquoi miner un bloc de bitcoin est-il une loterie dont on peut calculer les chances ?

Q: Que signifie « sans mémoire » ?

$P(X>m+n| X>m)=P(X>n)$ : l'attente déjà subie ne change pas la loi de l'attente restante.

Q: Pourquoi (1 − p)^(N) ≈ e⁽−Np) ?

$Nln(1-p)≈-Np$ pour $p$ petit, car $ln(1-p)≈-p$.

Un mineur doit trouver une empreinte qui commence par k zéros binaires : chaque essai réussit avec la probabilité 2⁻ᵏ, donc il faut en moyenne 2ᵏ essais. Le réseau règle k pour qu'un bloc arrive toutes les 10 minutes en moyenne ; la probabilité d'attendre plus de 30 minutes vaut alors environ e⁻³ ≈ 5 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai entendu dire que le bitcoin consomme autant d'électricité qu'un pays entier, à cause du « minage ». En cherchant ce que signifie miner, j'ai découvert que c'est une gigantesque loterie : on essaie des nombres au hasard jusqu'à ce qu'une empreinte soit assez petite. J'ai voulu calculer les chances de gagner, avec la loi géométrique de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une recherche par essais indépendants par une loi géométrique, et approcher la probabilité d'une longue attente par l'exponentielle.

Mathématiques

Loi géométrique, espérance (terminale)
Limite de (1 − x/n)ⁿ, exponentielle (terminale)
Puissances de 2, ordres de grandeur (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Fonctions de hachage (terminale)
Réseaux pair à pair, sécurité (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Dans une blockchain à preuve de travail, un bloc n'est accepté que si son empreinte commence par un certain nombre de zéros. Le seul moyen de la trouver est d'essayer des milliards de variantes. Problématique : combien d'essais faut-il, et pourquoi le temps entre deux blocs est-il imprévisible ?
2. Mathématiques : une loi géométrique
4 min
Une bonne fonction de hachage se comporte comme un tirage au hasard : chaque bit de l'empreinte vaut 0 ou 1 avec probabilité $\frac{1}{2}$ 1/2, indépendamment. La probabilité que les $k$ k premiers bits soient nuls est $p = 2^{- k}$ p=2^(-k).
Les essais sont indépendants : le rang du premier succès suit la loi géométrique de paramètre $p$ p, d'espérance $\frac{1}{p} = 2^{k}$ 1/p=2^(k). Pour $k = 70$ k=70, environ $1, 2 \times 1 0^{21}$ 1,2×10²¹ essais en moyenne.
Le réseau ajuste $k$ k (la difficulté) pour qu'un bloc soit trouvé en moyenne toutes les 10 minutes. La probabilité qu'aucun bloc n'arrive pendant $t$ t minutes est $(1 - p)^{N}$ (1-p)^(N), où $N$ N est le nombre d'essais faits pendant ce temps, avec $N p = \frac{t}{10}$ Np=t/10. Comme $p$ p est minuscule, $(1 - p)^{N} \approx e^{- N p} = e^{- t /10}$ (1-p)^(N)≈ e^(-Np)=e^(-t/10). Attendre plus de 30 minutes : $e^{- 3} \approx 0, 05$ e⁻³≈0,05. Plus d'une heure : $e^{- 6} \approx 0, 0025$ e⁻⁶≈0,0025.
Propriété remarquable : avoir déjà attendu 10 minutes ne raccourcit pas l'attente restante. La loi géométrique est sans mémoire.
3. NSI : sécurité et coût
3 min
La difficulté de trouver une empreinte rend la falsification coûteuse : modifier un ancien bloc obligerait à refaire le travail de ce bloc et de tous les suivants, plus vite que le reste du réseau. En revanche, vérifier qu'une empreinte commence par $k$ k zéros ne demande qu'un seul calcul : la preuve est difficile à produire, facile à vérifier.
On peut simuler une mini-preuve de travail en Python avec le module hashlib et $k = 16$ k=16 : il faut en moyenne $2^{16} = 65536$ 2¹⁶=65 536 essais, ce que l'on vérifie expérimentalement. Le coût énergétique vient de l'échelle : des milliards de milliards d'essais par seconde dans le monde.
4. Conclusion
1,5 min
Miner est une loterie : chaque essai gagne avec la probabilité $2^{- k}$ 2^(-k), l'attente suit une loi géométrique d'espérance $2^{k}$ 2^(k), et l'exponentielle approche la probabilité des longues attentes. J'ouvre sur la preuve d'enjeu, qui remplace ce travail par une mise en jeu de capital et consomme beaucoup moins.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

p = 2^{- k} X \sim G (p) : E (X) = 2^{k} k = 70 : \approx 1, 2 \times 1 0^{21} p=2^(-k) X~mathcal G(p): E(X)=2^(k) k=70: \approx1,2\times10²¹ P (aucun bloc en t min) \approx e^{- t /10} t = 30 : e^{- 3} \approx 0, 05 P( aucun bloc en t min )\approx e^(-t/10) t=30: e⁻³\approx0,05

Conclusion : la réponse à la question

La preuve de travail transforme un calcul de hachage en loterie dont on maîtrise les probabilités : loi géométrique pour le nombre d'essais, exponentielle pour le temps d'attente. Difficile à produire, facile à vérifier : c'est le cœur de la sécurité du système.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la probabilité vaut-elle 2⁻ᵏ ?

On suppose les k premiers bits indépendants et équiprobables : (1/2)^k.

Que signifie « sans mémoire » ?

$P (X > m + n ∣ X > m) = P (X > n)$ P(X>m+n| X>m)=P(X>n) : l'attente déjà subie ne change pas la loi de l'attente restante.

Pourquoi (1 − p)^N ≈ e^(−Np) ?

$N ln (1 - p) \approx - N p$ Nln(1-p)≈-Np pour $p$ p petit, car $ln (1 - p) \approx - p$ ln(1-p)≈-p.

Combien d'essais pour k = 16 ?

$2^{16} = 65536$ 2¹⁶=65 536 en moyenne.

Pourquoi vérifier est-il facile ?

Il suffit de calculer une seule empreinte et de regarder ses premiers bits.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'un mineur qui a beaucoup essayé est « plus proche » de gagner.
Confondre nombre moyen d'essais et nombre garanti.
Oublier que l'approximation exponentielle suppose p très petit.

Revoir les notions

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