Comment vérifier qu'un générateur de nombres aléatoires n'est pas truqué ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un jeu en ligne, un joueur se plaignait que le dé virtuel « faisait exprès » de ne jamais donner de 6. En NSI, j'ai voulu tester le générateur de Python moi-même. J'ai vite compris que même un dé parfait ne donne pas exactement un sixième de 6, et qu'il fallait un critère mathématique pour décider si l'écart était normal.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'échantillonnage et l'intervalle de fluctuation pour prendre une décision sur un générateur, en connaissant le risque d'erreur.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un générateur simule un dé. Sur un grand nombre de lancers, la fréquence de chaque face fluctue autour de $\frac{1}{6}$1/6. Problématique : à partir de quel écart doit-on douter du générateur ?

2. 2. Mathématiques : l'intervalle de fluctuation

   4 min

   Sur $n$n lancers, le nombre de 6 suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n,\frac{1}{6}\right)$mathcal B (n,1/6), d'espérance $\frac{n}{6}$n/6 et d'écart type $\sqrt{n\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}}$√(n×1/6×5/6). Pour $n=10000$n=10 000 : espérance 1 667, écart type environ 37.

   La fréquence $f$f a pour écart type $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\approx 0,0037$√((p(1-p))/n)≈0,0037. En seconde, on retient qu'au moins 95 % des échantillons ont une fréquence dans $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$[p-1/( √n );p+1/( √n )], soit $[0,157;0,177]$[0,157;0,177] pour $n=10000$n=10 000.

   Règle de décision : si la fréquence observée sort de cet intervalle, on rejette l'hypothèse « le générateur est équitable », avec un risque d'environ 5 % de se tromper. Si elle y est, on ne rejette pas, ce qui ne prouve pas que le générateur est bon. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une garantie plus large mais sans hypothèse supplémentaire : $P(|f-p|\ge \delta )\le \frac{p(1-p)}{n{\delta }^2}$P(|f-p|≥δ)≤(p(1-p))/nδ².

3. 3. NSI : tester en pratique

   3 min

   En Python, on lance 10 000 fois random.randint(1, 6) et on compte les faces dans un dictionnaire : chaque fréquence tombe, en général, dans l'intervalle. On répète l'expérience 100 fois : environ 95 répétitions sur 100 restent dans l'intervalle pour une face donnée, comme prévu.

   Les fréquences ne suffisent pas : un générateur qui donnerait 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2… aurait des fréquences parfaites mais ne serait pas aléatoire. On teste aussi les paires successives (36 combinaisons équiprobables), les longueurs de séries, etc. Les batteries de tests professionnelles en combinent des centaines.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   On teste un générateur en comparant les fréquences observées à un intervalle de fluctuation : sortir de $[0,157;0,177]$[0,157;0,177] sur 10 000 lancers fait douter du dé. Un test peut condamner un générateur, jamais le certifier. J'ouvre sur les tests de régularité des séquences, qui détectent des défauts invisibles dans les fréquences.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Exiger une fréquence exactement égale à 1/6.
• Croire qu'un test réussi prouve que le générateur est bon.
• Oublier que l'intervalle dépend de n.

Revoir les notions

• Échantillonnage et fluctuation (Seconde) →
• Échantillonnage (Première spé maths) →

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