Échantillonnage en Première spé maths

L'échantillonnage en Première spé : cours complet

L'échantillonnage étudie la relation entre une population et un échantillon issu de cette population. Tu apprends à utiliser la loi binomiale pour construire un intervalle de fluctuation et prendre des décisions statistiques.

Vocabulaire

Population

Ensemble (souvent grand) d'individus étudiés. Une proportion $p$p vérifie une certaine propriété.

Échantillon

Sous-ensemble de la population, de taille $n$n. On observe la fréquence $f$f de la propriété dans cet échantillon.

Échantillonnage aléatoire

Chaque individu est tiré au hasard, indépendamment des autres, avec la même probabilité $p$p.

Fluctuation d'échantillonnage

Pour un même $p$p, deux échantillons donnent deux fréquences différentes. Cette variation est la fluctuation.

Lien avec la loi binomiale

Modélisation

Soit $X$X = nombre d'individus présentant la propriété dans un échantillon de taille $n$n. Alors :

$$X\sim \mathcal{B}(n,p)$$X ~ B (n, p)

Espérance de la fréquence

$$F=\frac{X}{n}$$F = X/n

$$E(F)=pV(F)=\frac{p(1-p)}{n}$$E(F) = p V(F) = (p(1-p))/n

Conséquence

Plus $n$n est grand, plus la variance de $F$F est petite : la fréquence se rapproche de $p$p.

Intervalle de fluctuation au seuil $95\%$95%

Définition

L'intervalle de fluctuation à $95\%$95% est un intervalle $[a;b]$[a ; b] tel que :

$$P(a\le F\le b)\ge 0,95$$P(a ≤ F ≤ b) ≥ 0,95

Avec la loi binomiale

On cherche $a$a et $b$b tels que $P(a/n\le X/n\le b/n)\ge 0,95$P(a/n ≤ X/n ≤ b/n) ≥ 0,95, en utilisant la loi binomiale.

Approximation simple (seconde)

$$I=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$I = [ p - 1/√(n) ; p + 1/√(n) ]

Valable si $n\ge 25$n ≥ 25 et $0,2\le p\le 0,8$0,2 ≤ p ≤ 0,8.

Exemple

Pour $p=0,4$p = 0,4 et $n=100$n = 100 :

$$I=[0,4-0,1;0,4+0,1]=[0,3;0,5]$$I = [0,4 - 0,1 ; 0,4 + 0,1] = [0,3 ; 0,5]

Prise de décision

Méthode

On a une hypothèse : la proportion dans la population vaut $p$p. On observe une fréquence $f$f dans un échantillon.

• Si $f\in I$f ∈ I : on accepte l'hypothèse.
• Si $f\notin I$f ∉ I : on rejette l'hypothèse (au seuil $5\%$5%).

Exemple

Hypothèse : un dé est non truqué, donc $p(6)=\frac{1}{6}\approx 0,167$p(6) = 1/6 ≈ 0,167.

Sur $300$300 lancers, on obtient $70$70 fois la face $6$6, soit $f\approx 0,233$f ≈ 0,233.

Intervalle de fluctuation : $[0,167-0,058;0,167+0,058]=[0,109;0,225]$[0,167 - 0,058 ; 0,167 + 0,058] = [0,109 ; 0,225].

$f=0,233\notin I$f = 0,233 ∉ I → on rejette l'hypothèse : le dé est probablement truqué.

Simulation

On peut simuler la situation :

import random
def simulation(n, p):
    return sum(1 for _ in range(n) if random.random() < p) / n

for _ in range(20):
    print(simulation(100, 0.5))

Pour observer la fluctuation d'une expérience.

Estimation d'une proportion (introduction)

À l'inverse, si on ne connaît pas $p$p et qu'on observe $f$f dans un échantillon, on peut estimer $p$p par $f$f, avec une marge d'erreur.

Intervalle de confiance (approximation simple)

$$\text{IC}=\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$IC = [ f - 1/√(n) ; f + 1/√(n) ]

C'est l'intervalle de confiance à environ $95\%$95% pour la valeur de $p$p.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre intervalle de fluctuation et de confiance : le premier suppose $p$p connu, le second l'estime.
• Mauvaise condition de validité : $n$n doit être suffisamment grand, $p$p pas trop extrême.
• Conclure trop vite : un échantillon ne suffit pas à prouver, seulement à suspecter.

FAQ — L'échantillonnage en Première spé

Pourquoi étudier les échantillons ?

Parce qu'on ne peut pas étudier la population entière (sondages, contrôles qualité). On en prend une partie.

Comment être sûr d'un résultat ?

On ne peut jamais être certain à $100\%$100%, mais on peut limiter le risque (seuil $5\%$5%, $1\%$1%…).

Plus l'échantillon est grand, mieux c'est ?

Oui : plus $n$n est grand, plus l'intervalle est petit, plus la précision est grande.

À quoi servent ces notions ?

À interpréter des sondages, des tests, des contrôles qualité… C'est partout en médecine, science, industrie.