Question transversaleMathsPhysique-chimieAcides, bases et logarithme

Quel est le pH d'un acide chlorhydrique à 10⁻⁸ mol/L : 8 ou presque 7 ?

Q: Calculez le pH pour $c=10⁻⁶$ mol/L.

$h≈(10⁻⁶+√(10⁻¹²+4×10⁻¹⁴))/2≈1,01×10⁻⁶$ : pH ≈ 6,00, la formule simple est alors bonne.

Q: Justifiez $√(4,01)≈2,0025$.

$√(4(1+0,0025))=2√(1,0025)≈2(1+0,0025/2)=2,0025$ par l'approximation affine.

La formule pH = −log c donnerait 8, une solution basique absurde ; en tenant compte de l'eau, la concentration h vérifie h² − ch − Kₑ = 0, dont la racine positive donne h ≈ 1,05 × 10⁻⁷ mol/L et pH ≈ 6,98.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En appliquant la formule du pH d'un acide fort à une solution à $1 0^{- 8}$ 10⁻⁸ mol/L, j'ai trouvé pH 8, c'est-à-dire une solution basique fabriquée avec un acide. J'ai compris que la formule avait une limite. Pour trouver le vrai pH, j'ai dû écrire deux conditions chimiques et résoudre une équation du second degré : un bel exemple où le modèle simple échoue et où les mathématiques le corrigent.

L'enjeu et les notions du programme

Mettre en équation un problème chimique (conservation de la charge, produit ionique) et le résoudre par une équation du second degré.

Mathématiques

Équation du second degré, discriminant, racines (première)
Logarithme décimal (terminale)
Approximations, ordres de grandeur (seconde)

Physique-chimie

Produit ionique de l'eau Kₑ (terminale)
Électroneutralité d'une solution (première, terminale)
pH d'un acide fort (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Pour un acide fort de concentration $c$ c, on écrit $pH = - lo g c$ pH =-log c. Avec $c = 1 0^{- 8}$ c=10⁻⁸ mol/L, cela donne 8. Problématique : où est l'erreur, et quel est le vrai pH ?
2. Physique-chimie : deux sources d'ions oxonium
3 min
Les ions oxonium viennent de l'acide et de l'eau elle-même. Notons $h = [H_{3} O^{+}]$ h=[ H ₃ O ⁺] et $ω = [HO^{-}]$ ω=[ HO ⁻]. Deux relations :
• le produit ionique de l'eau : $h ω = K_{e} = 1 0^{- 14}$ h ω=Kₑ=10⁻¹⁴ ;
• l'électroneutralité : $h = ω + [Cl^{-}] = ω + c$ h=ω+[ Cl ⁻]=ω+c.
Quand $c$ c est grand devant $1 0^{- 7}$ 10⁻⁷, $ω$ ω est négligeable et $h \approx c$ h≈ c. Ici, $c = 1 0^{- 8}$ c=10⁻⁸ est dix fois plus petit que la contribution de l'eau : on ne peut plus négliger $ω$ ω.
3. Mathématiques : une équation du second degré
4 min
En remplaçant $ω = \frac{K _{e}}{h}$ ω=Kₑ/h : $h = \frac{K _{e}}{h} + c$ h=Kₑ/h+c, soit $h^{2} - c h - K_{e} = 0$ h²-ch-Kₑ=0. Le discriminant $Δ = c^{2} + 4 K_{e}$ Δ=c²+4Kₑ est positif ; le produit des racines $- K_{e}$ -Kₑ est négatif, donc une seule racine est positive :
$h = \frac{c + c ^{2} + 4 K _{e}}{2}$ h=(c+√(c²+4Kₑ))/2.
Avec $c = 1 0^{- 8}$ c=10⁻⁸ et $K_{e} = 1 0^{- 14}$ Kₑ=10⁻¹⁴ : $c^{2} = 1 0^{- 16}$ c²=10⁻¹⁶, $4 K_{e} = 4 \times 1 0^{- 14}$ 4Kₑ=4×10⁻¹⁴, $4, 01 \times 1 0^{- 14} \approx 2, 0025 \times 1 0^{- 7}$ √(4,01×10⁻¹⁴)≈2,0025×10⁻⁷. Donc $h \approx \frac{0 , 1 + 2 , 0025}{2} \times 1 0^{- 7} \approx 1, 05 \times 1 0^{- 7}$ h≈(0,1+2,0025)/2×10⁻⁷≈1,05×10⁻⁷ mol/L, et $pH \approx 6, 98$ pH ≈6,98 : légèrement acide, comme il se doit.
Vérification des cas limites : si $c ≫ 1 0^{- 7}$ cgg10⁻⁷, $c^{2} + 4 K_{e} \approx c$ √(c²+4Kₑ)≈ c et $h \approx c$ h≈ c ; si $c \to 0$ c→0, $h \to K_{e} = 1 0^{- 7}$ h→√(Kₑ)=10⁻⁷, pH 7. La formule générale contient les deux régimes.
4. Conclusion
2 min
Un acide à $1 0^{- 8}$ 10⁻⁸ mol/L a un pH d'environ 6,98, pas 8 : l'eau fournit plus d'ions oxonium que l'acide. Écrire correctement les deux contraintes chimiques conduit à une équation du second degré dont la racine positive est le bon résultat. J'ouvre sur la méthode des chimistes : poser un modèle, puis vérifier a posteriori les approximations.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

h ω = K_{e}, h = ω + c \Rightarrow h^{2} - c h - K_{e} = 0 h ω=Kₑ, h=ω+c \Rightarrow h²-c h-Kₑ=0 h = \frac{c + c ^{2} + 4 K _{e}}{2} = \frac{1 0 ^{- 8} + 1 0 ^{- 16} + 4 \times 1 0 ^{- 14}}{2} \approx 1, 05 \times 1 0^{- 7} mol/L h=(c+\sqrt(c²+4Kₑ))/2=(10⁻⁸+\sqrt(10⁻¹⁶+4\times10⁻¹⁴))/2\approx1,05\times10⁻⁷ mol/L pH = - lo g (1, 05 \times 1 0^{- 7}) \approx 6, 98 pH =-log(1,05\times10⁻⁷)\approx6,98

Conclusion : la réponse à la question

Le pH d'un acide fort très dilué ne suit plus la formule $- lo g c$ -log c : il faut tenir compte des ions de l'eau, ce qui mène à $h^{2} - c h - K_{e} = 0$ h²-ch-Kₑ=0. La racine positive donne pH ≈ 6,98, toujours acide. Un modèle n'a de valeur que dans son domaine de validité.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi éliminer la racine négative ?

Une concentration est positive ; le produit des racines étant négatif, l'une est positive et l'autre négative.

Calculez le pH pour

c = 1 0^{- 6}

c=10⁻⁶ mol/L.

$h \approx \frac{1 0 ^{- 6} + 1 0 ^{- 12} + 4 \times 1 0 ^{- 14}}{2} \approx 1, 01 \times 1 0^{- 6}$ h≈(10⁻⁶+√(10⁻¹²+4×10⁻¹⁴))/2≈1,01×10⁻⁶ : pH ≈ 6,00, la formule simple est alors bonne.

Qu'est-ce que l'électroneutralité ?

Une solution n'a pas de charge globale : la somme des concentrations des charges positives égale celle des charges négatives.

Justifiez

4, 01 \approx 2, 0025

√(4,01)≈2,0025.

$4 (1 + 0, 0025) = 2 1, 0025 \approx 2 (1 + \frac{0 , 0025}{2}) = 2, 0025$ √(4(1+0,0025))=2√(1,0025)≈2(1+0,0025/2)=2,0025 par l'approximation affine.

Où se trouvent des solutions aussi diluées ?

Dans l'eau ultra-pure de l'industrie électronique, ou dans des traces d'acide en analyse environnementale.

Les pièges qui coûtent des points

Garder la formule pH = −log c hors de son domaine de validité.
Oublier les ions de l'eau dans l'électroneutralité.
Prendre la mauvaise racine du trinôme.

Revoir les notions

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