Question transversaleMathsPhysique-chimieAcides, bases et logarithme

Comment repérer précisément l'équivalence d'un titrage pH-métrique ?

Q: Comment déduire la concentration de l'acide de V_E ?

À l'équivalence, $cₐVₐ=c_bV_E$, donc $cₐ=c_bV_E/Vₐ$.

Q: Pourquoi un taux de variation centré ?

Il est plus précis : l'erreur est de l'ordre de $h²$ au lieu de $h$ pour un taux « avant ».

Au voisinage de l'équivalence, le pH varie brusquement : l'équivalence correspond au point d'inflexion de la courbe pH = f(V), où la dérivée dpH/dV est maximale. La méthode des tangentes et le calcul de la dérivée par un tableur donnent le volume équivalent.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP de titrage, nous versions la soude goutte à goutte et, d'un coup, le pH bondissait de 4 à 10. Le professeur nous a montré deux méthodes pour repérer le volume équivalent : des tangentes parallèles et une « courbe dérivée » tracée par le logiciel. J'ai voulu comprendre pourquoi la dérivée est maximale à l'équivalence, et comment un ordinateur la calcule à partir de mesures.

L'enjeu et les notions du programme

Relier un point d'inflexion au maximum de la dérivée et calculer une dérivée numérique à partir de données expérimentales.

Mathématiques

Nombre dérivé, taux de variation (première)
Convexité, point d'inflexion (terminale)
Algorithmique : calculs sur des listes (première)

Physique-chimie

Titrage pH-métrique, équivalence (terminale)
Méthode des tangentes, courbe dérivée (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On titre $10$ 10 mL d'acide chlorhydrique par une solution de soude en mesurant le pH après chaque ajout. Problématique : comment déterminer précisément le volume versé à l'équivalence ?
2. Physique-chimie : le saut de pH
3 min
Avant l'équivalence, l'acide est en excès : chaque ajout de soude consomme des ions oxonium, mais le pH varie peu car il reste beaucoup d'acide. À l'équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques. Juste après, la soude est en excès : le pH devient basique.
Autour de l'équivalence, une seule goutte fait passer l'excès d'acide à l'excès de base : le pH varie de plusieurs unités. La courbe passe de concave à convexe : c'est un point d'inflexion.
3. Mathématiques : maximum de la dérivée
4 min
En un point d'inflexion, la dérivée change de sens de variation : elle passe par un extremum. Ici, $\frac{d pH}{d V}$ (d pH)/dV est maximale à l'équivalence. On repère donc $V_{E}$ V_E comme l'abscisse du pic de la courbe dérivée.
À partir des mesures $(V_{i}; pH_{i})$ (Vᵢ; pH ᵢ), le logiciel calcule une dérivée approchée par le taux de variation $\frac{pH _{i + 1} - pH _{i - 1}}{V _{i + 1} - V _{i - 1}}$ (pH ᵢ₊₁- pH ᵢ₋₁)/(Vᵢ₊₁-Vᵢ₋₁), placé en $V_{i}$ Vᵢ. Exemple : pH $4, 3$ 4,3 à $9, 9$ 9,9 mL et $9, 7$ 9,7 à $10, 1$ 10,1 mL donnent un taux de $\frac{5 , 4}{0 , 2} = 27$ 5,4/0,2=27 unités de pH par mL, contre environ $0, 1$ 0,1 loin de l'équivalence.
La méthode des tangentes parallèles est la version géométrique : on trace deux tangentes parallèles de part et d'autre du saut, puis la parallèle équidistante, qui coupe la courbe au point d'équivalence. C'est exact pour une courbe symétrique autour de son point d'inflexion. Près de l'équivalence, on resserre les ajouts pour avoir des points précis.
4. Conclusion
2 min
L'équivalence d'un titrage pH-métrique est le point d'inflexion de la courbe, où la dérivée $\frac{d pH}{d V}$ (d pH)/dV est maximale : on la repère par la courbe dérivée, calculée par des taux de variation, ou par la méthode des tangentes. J'ouvre sur les indicateurs colorés, qui changent de couleur dans la zone du saut.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{d pH}{d V}_{V_{i}} \approx \frac{pH _{i + 1} - pH _{i - 1}}{V _{i + 1} - V _{i - 1}} .(d pH)/dV|_Vᵢ\approx(pH ᵢ₊₁- pH ᵢ₋₁)/(Vᵢ₊₁-Vᵢ₋₁) \frac{9 , 7 - 4 , 3}{10 , 1 - 9 , 9} = \frac{5 , 4}{0 , 2} = 27 mL^{- 1} (9,7-4,3)/(10,1-9,9)=5,4/0,2=27 mL ⁻¹ \overset{e}{ˊ} quivalence = point d’inflexion = max \frac{d pH}{d V} équivalence = point d'inflexion =max(d pH)/dV

Conclusion : la réponse à la question

Le volume équivalent se lit au maximum de la dérivée $\frac{d pH}{d V}$ (d pH)/dV, c'est-à-dire au point d'inflexion de la courbe de titrage. La dérivée numérique, simple taux de variation entre deux mesures voisines, transforme un saut difficile à lire en pic net.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction passe de concave à convexe (la dérivée seconde change de signe).

Pourquoi resserrer les ajouts près de l'équivalence ?

Le pH varie beaucoup sur un petit volume : des ajouts de 1 mL sauteraient le saut et le pic de la dérivée serait mal défini.

Comment déduire la concentration de l'acide de V_E ?

À l'équivalence, $c_{a} V_{a} = c_{b} V_{E}$ cₐVₐ=c_bV_E, donc $c_{a} = \frac{c _{b} V _{E}}{V _{a}}$ cₐ=c_bV_E/Vₐ.

Pourquoi un taux de variation centré ?

Il est plus précis : l'erreur est de l'ordre de $h^{2}$ h² au lieu de $h$ h pour un taux « avant ».

Quel est le pH à l'équivalence pour un acide fort titré par une base forte ?

7 à 25 °C : la solution ne contient plus que des ions spectateurs.

Les pièges qui coûtent des points

Prendre le milieu du saut « à l'œil » sans méthode.
Confondre le pic de la dérivée et le maximum du pH.
Calculer la dérivée avec des volumes trop espacés.

Revoir les notions

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