Question transversaleMathsPhysique-chimieThermodynamique

Pourquoi un chauffage d'aquarium ne fait-il pas monter la température indéfiniment ?

Q: Vérifiez la solution en t = 0 et en +∞.

$T(0)=T_ éq -PR=T_ ext $ ; $T(t)→ T_ éq $ car $e^(-t/RC)→0$.

Q: Que se passe-t-il si l'on double la puissance ?

L'élévation $PR$ double : 34 °C. Le temps caractéristique ne change pas.

Q: Pourquoi le temps caractéristique ne dépend-il pas de P ?

$τ=RC$ ne fait intervenir que la capacité thermique et l'isolation : P fixe le niveau, pas la vitesse relative.

Q: Quelle est la vitesse de chauffe au départ ?

$T'(0)=P/C=100/4,2×10⁵≈2,4×10⁻⁴$ K/s, soit environ 0,86 °C par heure.

Le bilan C T' = P − (T − T_ext)/R est une équation y' = ay + b : la température tend vers T_ext + PR, soit 26 °C pour 100 W, R = 0,08 K/W et une pièce à 18 °C, avec un temps caractéristique RC d'environ 9 h.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Nous avons un aquarium de 100 litres chauffé par une résistance de 100 W. Je pensais qu'une résistance qui chauffe en permanence finirait par faire bouillir l'eau. En réalité, la température se stabilise vers 26 °C. J'ai voulu comprendre pourquoi, avec un bilan d'énergie et une équation différentielle de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Écrire un bilan d'énergie en régime variable, le résoudre comme une équation y' = ay + b et interpréter l'équilibre et le temps caractéristique.

Mathématiques

Équations différentielles y' = ay + b (terminale)
Limite de l'exponentielle, asymptote (terminale)

Physique-chimie

Premier principe de la thermodynamique, bilan d'énergie (terminale)
Capacité thermique, résistance thermique (terminale)
Puissance, effet Joule (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une résistance de $P = 100$ P=100 W chauffe $100$ 100 L d'eau dans une pièce à $18$ 18 °C. Les parois laissent passer la chaleur. Problématique : la température monte-t-elle sans fin, et sinon, vers quelle valeur ?
2. Physique : le bilan d'énergie
3 min
Pendant une durée $d t$ dt, l'eau reçoit $P d t$ P dt et perd $\frac{T - T _{ext}}{R} d t$ (T-T_ ext)/Rdt, où $R$ R est la résistance thermique des parois (ici $0, 08$ 0,08 K/W). Sa capacité thermique $C = m c = 100 \times 4180 \approx 4, 2 \times 1 0^{5}$ C=mc=100×4 180≈4,2×10⁵ J/K. Le premier principe donne : $C T^{'} = P - \frac{T - T _{ext}}{R}$ C T'=P-(T-T_ ext)/R.
Au début, l'eau est à la température de la pièce, les pertes sont nulles et la température monte. Plus elle monte, plus les pertes augmentent, jusqu'à compenser la puissance de chauffe.
3. Mathématiques : équilibre et temps caractéristique
4 min
L'équation s'écrit $T^{'} = - \frac{1}{R C} T + \frac{P}{C} + \frac{T _{ext}}{R C}$ T'=-1/RCT+P/C+(T_ ext)/RC : forme $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b. La solution constante annule $T^{'}$ T' : $T_{\overset{e}{ˊ} q} = T_{ext} + P R = 18 + 100 \times 0, 08 = 26$ T_ éq =T_ ext +PR=18+100×0,08=26 °C. Avec $T (0) = T_{ext}$ T(0)=T_ ext : $T (t) = T_{\overset{e}{ˊ} q} - P R e^{- t / R C}$ T(t)=T_ éq -PR e^(-t/RC).
Le temps caractéristique vaut $R C \approx 0, 08 \times 4, 2 \times 1 0^{5} \approx 3, 3 \times 1 0^{4}$ RC≈0,08×4,2×10⁵≈3,3×10⁴ s, environ 9 h. La température atteint 63 % de son élévation finale en 9 h, 95 % en 28 h : chauffer un aquarium prend plus d'une journée.
Pour viser $T_{\overset{e}{ˊ} q} = 28$ T_ éq =28 °C, il faudrait $P = \frac{10}{0 , 08} = 125$ P=10/0,08=125 W ; ou mieux isoler pour augmenter $R$ R. En pratique, un thermostat coupe la résistance à la température voulue, mais c'est l'équilibre $T_{ext} + P R$ T_ ext +PR qui fixe la température maximale atteignable.
4. Conclusion
2 min
Un chauffage avec des pertes ne fait pas monter la température indéfiniment : les pertes croissent avec l'écart de température, et l'équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b converge vers $T_{ext} + P R$ T_ ext +PR. J'ouvre sur l'effet de serre, où la Terre trouve elle aussi une température d'équilibre entre l'énergie reçue et l'énergie rayonnée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C T^{'} = P - \frac{T - T _{ext}}{R} T_{\overset{e}{ˊ} q} = T_{ext} + P R = 18 + 100 \times 0, 08 = 26 ° C C T'=P-(T-T_ ext)/R T_ éq =T_ ext +PR=18+100\times0,08=26 ° C T (t) = T_{\overset{e}{ˊ} q} - P R e^{- t / R C} T(t)=T_ éq -PR e^(-t/RC) R C \approx 0, 08 \times 4, 2 \times 1 0^{5} \approx 3, 3 \times 1 0^{4} s \approx 9 h RC\approx0,08\times4,2\times10⁵\approx3,3\times10⁴ s \approx9 h

Conclusion : la réponse à la question

La température de l'aquarium tend vers $T_{ext} + P R$ T_ ext +PR parce que les pertes, proportionnelles à l'écart de température, finissent par égaler la puissance de chauffe. Le temps caractéristique $R C$ RC, d'environ 9 h, explique la lenteur de la mise en température.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez la solution en t = 0 et en +∞.

$T (0) = T_{\overset{e}{ˊ} q} - P R = T_{ext}$ T(0)=T_ éq -PR=T_ ext ; $T (t) \to T_{\overset{e}{ˊ} q}$ T(t)→ T_ éq car $e^{- t / R C} \to 0$ e^(-t/RC)→0.

Que se passe-t-il si l'on double la puissance ?

L'élévation $P R$ PR double : 34 °C. Le temps caractéristique ne change pas.

Pourquoi le temps caractéristique ne dépend-il pas de P ?

$τ = R C$ τ=RC ne fait intervenir que la capacité thermique et l'isolation : P fixe le niveau, pas la vitesse relative.

Combien d'énergie consomme le chauffage par jour à l'équilibre ?

100 W × 24 h = 2,4 kWh, entièrement compensés par les pertes.

Quelle analogie électrique ?

Un condensateur (capacité thermique) chargé par une source de courant (P) à travers une résistance de fuite (R) : même équation que le circuit RC.

Quelle est la vitesse de chauffe au départ ?

$T^{'} (0) = \frac{P}{C} = \frac{100}{4 , 2 \times 1 0 ^{5}} \approx 2, 4 \times 1 0^{- 4}$ T'(0)=P/C=100/4,2×10⁵≈2,4×10⁻⁴ K/s, soit environ 0,86 °C par heure.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier les pertes et conclure que la température croît linéairement sans fin.
Confondre la puissance de chauffe et l'énergie.
Exprimer R en W/K au lieu de K/W.

Revoir les notions

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