Question transversaleMathsPhysique-chimieThermodynamique

Comment prévoir le refroidissement d'une tasse de café ?

Q: Vérifiez que la solution satisfait l'équation.

$T'=-(T₀-T_ ext)/taue^(-t/τ)=-frac1τ(T-T_ ext )$.

Q: Quelle température après 5 minutes ?

$20+60×(2/3)^(1/2)≈20+49=69$ °C.

Q: Le café atteint-il un jour 20 °C ?

Non dans le modèle : $e^(-t/τ)>0$. En pratique, l'écart devient inférieur à la précision du thermomètre au bout de quelques τ.

La loi de Newton T' = −(T − T_ext)/τ donne T(t) = T_ext + (T₀ − T_ext)e^(−t/τ) ; un café passé de 80 °C à 60 °C en 10 min dans une pièce à 20 °C a τ ≈ 24,7 min et atteint 40 °C au bout d'environ 27 min.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Chaque matin, mon café est trop chaud au début, puis froid avant que je l'aie fini. Je me suis demandé si l'on pouvait prévoir à quel moment il serait à la bonne température. En terminale, j'ai découvert la loi de refroidissement de Newton, une équation différentielle du type $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b. Avec deux mesures, on peut tout prévoir.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un transfert thermique par une équation différentielle, la résoudre et déterminer ses paramètres à partir de mesures avec le logarithme.

Mathématiques

Équation différentielle y' = ay + b (terminale)
Fonction exponentielle, logarithme (terminale)
Résolution d'équations exponentielles (terminale)

Physique-chimie

Transferts thermiques, flux thermique (terminale)
Loi phénoménologique de Newton, évolution de la température d'un système au contact d'un thermostat (terminale)
Capacité thermique (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un café à $80$ 80 °C est posé dans une pièce à $20$ 20 °C. Dix minutes plus tard, il est à $60$ 60 °C. Problématique : quand atteindra-t-il $40$ 40 °C, et pourquoi refroidit-il de plus en plus lentement ?
2. Physique : la loi de Newton
3 min
Le flux thermique cédé par le café à l'air est proportionnel à l'écart de température : $Φ = h S (T - T_{ext})$ Φ=h S(T-T_ ext ). D'après le premier principe, l'énergie interne du café diminue d'autant : $C T^{'} = - h S (T - T_{ext})$ C T'=-hS(T-T_ ext ), où $C$ C est sa capacité thermique.
En posant $τ = \frac{C}{h S}$ τ=C/hS : $T^{'} = - \frac{1}{τ} (T - T_{ext})$ T'=-frac1τ(T-T_ ext ). Plus l'écart est grand, plus le café refroidit vite ; quand il approche de la température de la pièce, le refroidissement ralentit.
3. Mathématiques : résolution et prévision
4 min
C'est une équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b avec $a = - \frac{1}{τ}$ a=-frac1τ et $b = \frac{T _{ext}}{τ}$ b=fracT_ ext τ. La solution constante est $T_{ext}$ T_ ext, d'où $T (t) = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ}$ T(t)=T_ ext +(T₀-T_ ext )e^(-t/τ).
Détermination de $τ$ τ : $60 = 20 + 60 e^{- 10/ τ}$ 60=20+60e^(-10/τ), soit $e^{- 10/ τ} = \frac{2}{3}$ e^(-10/τ)=2/3 et $τ = \frac{10}{l n 1 , 5} \approx 24, 7$ τ=10/ln1,5≈24,7 min.
Prévision : $40 = 20 + 60 e^{- t / τ}$ 40=20+60e^(-t/τ) donne $e^{- t / τ} = \frac{1}{3}$ e^(-t/τ)=1/3, soit $t = τ ln 3 \approx 27$ t=τln3≈27 min. Le café met 10 min pour perdre ses 20 premiers degrés, et 17 min de plus pour les 20 suivants : l'écart à la pièce diminue exponentiellement. Pour un café plus chaud plus longtemps, on réduit $h S$ hS (couvercle, tasse isolante) : $τ$ τ augmente.
4. Conclusion
2 min
On prévoit le refroidissement d'un café avec la loi de Newton : l'écart à la température de la pièce décroît exponentiellement, avec un temps caractéristique que deux mesures suffisent à déterminer. Ici, le café atteint 40 °C en 27 min environ. J'ouvre sur la médecine légale, qui utilise la même loi pour estimer l'heure d'un décès.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C T^{'} = - h S (T - T_{ext}) ⟺ T^{'} = - \frac{1}{τ} (T - T_{ext}) C T'=-hS (T-T_ ext )\Leftrightarrow T'=-1/τ (T-T_ ext ) T (t) = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ} T(t)=T_ ext +(T₀-T_ ext ) e^(-t/τ) e^{- 10/ τ} = \frac{2}{3} \Rightarrow τ = \frac{10}{ln 1 , 5} \approx 24, 7 min e^{- t / τ} = \frac{1}{3} \Rightarrow t = τ ln 3 \approx 27 min e^(-10/τ)=2/3\Rightarrowτ=10/ln1,5\approx24,7 min e^(-t/τ)=1/3\Rightarrow t=τln3\approx27 min

Conclusion : la réponse à la question

La température d'un café suit $T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ}$ T_ ext +(T₀-T_ ext )e^(-t/τ) : deux mesures donnent $τ$ τ, et le logarithme permet de prévoir quand il atteindra une température donnée. Le refroidissement ralentit parce que le flux est proportionnel à l'écart de température.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que la solution satisfait l'équation.

$T^{'} = - \frac{T _{0} - T _{ext}}{τ} e^{- t / τ} = - \frac{1}{τ} (T - T_{ext})$ T'=-(T₀-T_ ext)/taue^(-t/τ)=-frac1τ(T-T_ ext ).

Quelle température après 5 minutes ?

$20 + 60 \times (\frac{2}{3})^{1/2} \approx 20 + 49 = 69$ 20+60×(2/3)^(1/2)≈20+49=69 °C.

Faut-il ajouter le lait au début ou à la fin pour boire le café le plus froid possible au bout de 10 min ?

À la fin : tant qu'il est plus chaud, le café seul perd plus de chaleur, car le flux est proportionnel à l'écart avec la pièce. Ajouter le lait au début réduit cet écart, donc les pertes. Le modèle permet de comparer les deux scénarios.

Pourquoi τ = C/(hS) ?

Une grande capacité thermique (beaucoup de café) refroidit lentement ; une grande surface d'échange refroidit vite.

Le café atteint-il un jour 20 °C ?

Non dans le modèle : $e^{- t / τ} > 0$ e^(-t/τ)>0. En pratique, l'écart devient inférieur à la précision du thermomètre au bout de quelques τ.

Que représente la solution constante ?

L'équilibre thermique : un café à la température de la pièce n'échange plus de chaleur.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la température extérieure et écrire T = T₀e^(−t/τ).
Croire que le café perd le même nombre de degrés chaque minute.
Se tromper de sens dans l'équation e^(−10/τ) = 2/3.

Revoir les notions

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