Question transversaleMathsPhysique-chimieThermodynamique

Comment les médecins légistes estiment-ils l'heure d'un décès avec un thermomètre ?

Q: Calculez ln 1,7 approximativement.

$ln1,7=ln17-ln10≈2,83-2,30=0,53$.

Q: Si la seconde mesure était 28,5 °C, que deviendrait τ ?

$e^(-1/τ)=0,85$, $τ=1/(ln(1/0,85))≈6,2$ h, et $t≈6,2×0,53≈3,3$ h : une petite erreur de mesure change beaucoup le résultat.

Deux mesures de température à une heure d'intervalle (30 °C puis 28 °C dans une pièce à 20 °C) donnent τ = 1/ln 1,25 ≈ 4,5 h ; en remontant de 37 °C, le décès a eu lieu environ 2 h 20 avant la première mesure.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans les séries policières, le médecin légiste annonce l'heure du décès après avoir pris la température du corps. Je me suis demandé si c'était sérieux. J'ai découvert que la méthode repose sur la loi de refroidissement de Newton, appliquée à rebours : on connaît l'état final et on remonte le temps. C'est un problème inverse, résolu avec le logarithme.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser un modèle exponentiel pour remonter dans le temps (problème inverse) et discuter les limites du modèle.

Mathématiques

Équation différentielle y' = ay + b (terminale)
Logarithme népérien, équations exponentielles (terminale)
Incertitudes et sensibilité d'un résultat (terminale)

Physique-chimie

Loi de Newton, temps caractéristique (terminale)
Transferts thermiques (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un corps est découvert dans une pièce à $20$ 20 °C. Sa température est de $30$ 30 °C, puis de $28$ 28 °C une heure plus tard. Problématique : depuis combien de temps la personne est-elle décédée ?
2. Physique : le modèle
2,5 min
Après le décès, le corps ne produit plus de chaleur et se refroidit selon la loi de Newton : $T (t) = 20 + (T_{0} - 20) e^{- t / τ}$ T(t)=20+(T₀-20)e^(-t/τ), où $T_{0} \approx 37$ T₀≈37 °C est la température au moment du décès. Deux inconnues : $τ$ τ, qui dépend de la corpulence, des vêtements, de l'air, et l'instant du décès.
Idée : les deux mesures donnent d'abord $τ$ τ, puis on remonte jusqu'à 37 °C.
3. Mathématiques : remonter le temps
4,5 min
Étape 1 : entre les deux mesures, l'écart à la pièce passe de $10$ 10 à $8$ 8 °C. Donc $e^{- 1/ τ} = 0, 8$ e^(-1/τ)=0,8, soit $τ = \frac{1}{l n 1 , 25} \approx 4, 5$ τ=1/ln1,25≈4,5 h.
Étape 2 : entre le décès et la première mesure, l'écart est passé de $17$ 17 à $10$ 10 °C. $10 = 17 e^{- t / τ}$ 10=17e^(-t/τ), soit $t = τ ln 1, 7 \approx 4, 5 \times 0, 53 \approx 2, 4$ t=τln1,7≈4,5×0,53≈2,4 h, environ 2 h 20.
Sensibilité : si la température initiale était de $37, 5$ 37,5 °C (fièvre), l'écart initial serait de $17, 5$ 17,5 et $t = τ ln 1, 75 \approx 2, 5$ t=τln1,75≈2,5 h. Une erreur de 0,1 °C sur une mesure change sensiblement $τ$ τ : les légistes donnent donc une fourchette, et le modèle réel tient compte d'un plateau initial pendant lequel la température du corps baisse peu. La méthode n'est fiable que dans les premières heures, tant que l'écart reste mesurable.
4. Conclusion
2 min
Les légistes estiment l'heure du décès en appliquant la loi de Newton à rebours : deux mesures donnent le temps caractéristique, puis le logarithme donne la durée écoulée depuis 37 °C, ici environ 2 h 20. Le résultat est une estimation, sensible aux mesures et aux hypothèses. J'ouvre sur les autres problèmes inverses : dater une roche, retrouver l'origine d'une épidémie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

T (t) = 20 + (T_{0} - 20) e^{- t / τ} T(t)=20+(T₀-20) e^(-t/τ) \frac{28 - 20}{30 - 20} = e^{- 1/ τ} = 0, 8 \Rightarrow τ = \frac{1}{ln 1 , 25} \approx 4, 5 h (28-20)/(30-20)=e^(-1/τ)=0,8 \Rightarrow τ=1/ln1,25\approx4,5 h \frac{30 - 20}{37 - 20} = e^{- t / τ} \Rightarrow t = τ ln \frac{17}{10} \approx 2, 4 h (30-20)/(37-20)=e^(-t/τ) \Rightarrow t=τln17/10\approx2,4 h

Conclusion : la réponse à la question

La loi de Newton permet de remonter le temps : les deux mesures fixent $τ \approx 4, 5$ τ≈4,5 h, et le passage de 37 °C à 30 °C a pris environ 2 h 20. Le calcul est simple, mais le résultat doit être accompagné d'une marge d'incertitude.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi utiliser deux mesures et non une seule ?

Une seule mesure ne permet pas de connaître τ, qui dépend de la personne et de l'environnement.

Calculez ln 1,7 approximativement.

$ln 1, 7 = ln 17 - ln 10 \approx 2, 83 - 2, 30 = 0, 53$ ln1,7=ln17-ln10≈2,83-2,30=0,53.

Que se passe-t-il si la pièce est à 30 °C ?

L'écart est trop faible pour être mesuré avec précision : la méthode ne fonctionne pas.

Si la seconde mesure était 28,5 °C, que deviendrait τ ?

$e^{- 1/ τ} = 0, 85$ e^(-1/τ)=0,85, $τ = \frac{1}{l n ( 1/0 , 85 )} \approx 6, 2$ τ=1/(ln(1/0,85))≈6,2 h, et $t \approx 6, 2 \times 0, 53 \approx 3, 3$ t≈6,2×0,53≈3,3 h : une petite erreur de mesure change beaucoup le résultat.

Pourquoi parle-t-on de problème inverse ?

On connaît l'effet (les températures mesurées) et l'on cherche la cause (l'instant initial) ; ces problèmes sont souvent sensibles aux erreurs.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser 37 °C comme si c'était une mesure exacte.
Oublier de soustraire la température de la pièce.
Annoncer une heure précise sans fourchette d'incertitude.

Revoir les notions

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