Quelle masse une montgolfière peut-elle soulever ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En voyant décoller une montgolfière, j'ai été surpris qu'une simple enveloppe d'air chaud soulève une nacelle, plusieurs passagers et les bouteilles de gaz. Je me suis demandé combien elle pouvait porter, et s'il suffisait de chauffer plus pour monter plus. Le calcul combine la poussée d'Archimède, la loi des gaz parfaits et l'étude d'une fonction.

L'enjeu et les notions du programme

Combiner la poussée d'Archimède et la loi des gaz parfaits, puis étudier une fonction du type 1 − a/x (variations, limite).

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une montgolfière de volume $V=2500$V=2 500 m³ est remplie d'air chauffé à $T$T, dans de l'air extérieur à $T_0=293$T₀=293 K (20 °C). Problématique : quelle masse peut-elle soulever ?

2. 2. Physique : Archimède et gaz parfait

   3 min

   L'enveloppe déplace un volume $V$V d'air extérieur : la poussée d'Archimède vaut ${\rho }_{0}Vg$ρ₀Vg, avec ${\rho }_0\approx 1,2$ρ₀≈1,2 kg/m³. L'air intérieur pèse $\rho Vg$ρ Vg. À pression égale, la loi des gaz parfaits donne $\rho ={\rho }_0\frac{T_0}{T}$ρ=ρ₀T₀/T : l'air chaud est moins dense.

   La masse soulevable (enveloppe, nacelle, passagers) vaut donc $m(T)={\rho }_{0}V\left(1-\frac{T_0}{T}\right)$m(T)=ρ₀V(1-T₀/T).

3. 3. Mathématiques : calcul et étude de la fonction

   4 min

   À $T=373$T=373 K (100 °C) : $1-\frac{293}{373}\approx 0,214$1-293/373≈0,214, donc $m\approx 1,2\times 2500\times 0,214\approx 640$m≈1,2×2 500×0,214≈640 kg.

   La fonction $f(T)=1-\frac{T_0}{T}$f(T)=1-T₀/T est croissante sur $]0;+\infty [$]0;+∞[ (dérivée $\frac{T_0}{T^2}>0$T₀/T²>0) et tend vers 1 : même avec un air infiniment chaud, on ne soulèverait que ${\rho }_{0}V=3$ρ₀V=3 tonnes. Elle est concave : chaque degré supplémentaire rapporte moins que le précédent. Passer de 100 à 120 °C ne fait gagner que $1,2\times 2500\times \left(\frac{293}{373}-\frac{293}{393}\right)\approx 120$1,2×2 500×(293/373-293/393)≈120 kg.

   En pratique, l'enveloppe en nylon ne supporte pas beaucoup plus de 120 °C. Pour porter plus, il vaut mieux augmenter le volume : $m$m est proportionnelle à $V$V. Le matin, quand l'air est froid, $T_0$T₀ est plus petit et la montgolfière porte plus : c'est pourquoi les vols ont lieu tôt.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une montgolfière de 2 500 m³ chauffée à 100 °C soulève environ 640 kg : la différence entre la poussée d'Archimède et le poids de l'air chaud, moins dense. La fonction $1-\frac{T_0}{T}$1-T₀/T, croissante, concave et bornée par 1, explique pourquoi chauffer davantage rapporte de moins en moins. J'ouvre sur les ballons à hélium, dont la force ascensionnelle ne dépend presque pas de la température.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Utiliser des degrés Celsius dans le rapport des températures.
• Oublier le poids de l'air intérieur.
• Croire qu'en chauffant assez on soulève n'importe quelle masse.

Revoir les notions

• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →
• Limites de fonctions (Terminale spé maths) →

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