Comment estimer l'énergie nécessaire pour chauffer une maison pendant une journée ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant la facture de chauffage, je me suis demandé comment les fournisseurs estiment la consommation d'un logement selon la météo. J'ai découvert la notion de « degrés-jours », qui additionne les écarts de température au fil des jours. Derrière cette méthode se cache une intégrale et la notion de valeur moyenne d'une fonction.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une énergie comme intégrale d'une puissance variable et utiliser la valeur moyenne d'une fonction sinusoïdale.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une maison est maintenue à $T_{\text{int}}=19$T_ int =19 °C. La température extérieure varie au cours de la journée. Problématique : quelle énergie de chauffage faut-il pour 24 heures ?

2. 2. Physique : une puissance qui varie

   3 min

   En régime permanent, le chauffage compense exactement les pertes : $P(t)=\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}(t)}{R}$P(t)=(T_ int -T_ ext (t))/R, où $R$R est la résistance thermique globale de la maison (ici $0,005$0,005 K/W). L'énergie consommée sur une durée $D$D est l'intégrale de la puissance : $E={\int }_0^{D}P(t)dt$E=∫₀^(D)P(t) dt.

   On modélise la température extérieure par $T_{\text{ext}}(t)=5+5\cos \left(\frac{2\pi (t-15)}{24}\right)$T_ ext (t)=5+5cos((2π(t-15))/24) (t en heures) : 10 °C à 15 h, 0 °C à 3 h du matin.

3. 3. Mathématiques : seule la moyenne compte

   4 min

   Par linéarité de l'intégrale : $E=\frac{1}{R}{\int }_0^{24}\left(T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}(t)\right)dt=\frac{1}{R}\left(24T_{\text{int}}-{\int }_0^{24}{T}_{\text{ext}}(t)dt\right)$E=1/R∫₀²⁴(T_ int -T_ ext (t))dt=1/R(24 T_ int -∫₀²⁴T_ ext (t) dt).

   L'intégrale du cosinus sur une période entière est nulle : ${\int }_0^{24}\cos \left(\frac{2\pi (t-15)}{24}\right)dt=0$∫₀²⁴cos((2π(t-15))/24)dt=0. Donc ${\int }_0^{24}{T}_{\text{ext}}=24\times 5$∫₀²⁴T_ ext =24×5 : la valeur moyenne de $T_{\text{ext}}$T_ ext est 5 °C, et les oscillations ne changent rien.

   $E=\frac{24\times (19-5)}{0,005}$E=(24×(19-5))/0,005 W·h $=\frac{14}{0,005}\times 24=2800\times 24$=14/0,005×24=2 800×24 Wh $\approx 67$≈67 kWh. Les « degrés-jours » (ici 14 pour cette journée) mesurent exactement cela : l'écart moyen entre l'intérieur et l'extérieur, multiplié par la durée. Ce raisonnement suppose que le chauffage ne s'arrête jamais : s'il fait plus de 19 °C dehors l'après-midi, la puissance ne devient pas négative et la moyenne ne suffit plus.

4. 4. Conclusion

   2 min

   L'énergie de chauffage d'une journée est l'intégrale des pertes ; par linéarité, elle ne dépend que de la température extérieure moyenne : environ 67 kWh pour cette maison et un écart moyen de 14 °C. C'est le principe des degrés-jours. J'ouvre sur l'intérêt de baisser le chauffage d'un degré : 1/14 de l'écart, soit environ 7 % d'économie dans cet exemple.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Prendre la température minimale au lieu de la moyenne.
• Confondre puissance (W) et énergie (Wh).
• Appliquer la moyenne quand le chauffage s'arrête une partie de la journée.

Revoir les notions

• Calcul intégral (Terminale spé maths) →
• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →

Autres questions : thermodynamique

• Comment prévoir le refroidissement d'une tasse de café ?
• Comment les médecins légistes estiment-ils l'heure d'un décès avec un thermomètre ?
• Pourquoi quelques centimètres d'isolant réduisent-ils autant les pertes de chaleur d'une maison ?
• Comment a-t-on découvert qu'il existe une température minimale, le zéro absolu ?

Toutes les questions maths-physique-chimie →