Fonctions trigonométriques en Terminale spé maths

Les fonctions trigonométriques en Terminale spé : cours complet

En Terminale spé, tu étudies les fonctions $\sin$sin et $\cos$cos en tant que fonctions : variations, dérivées, courbes, et applications.

Rappels

Définitions sur le cercle trigonométrique

Pour tout réel $x$x, $\cos (x)$cos(x) et $\sin (x)$sin(x) sont les coordonnées du point $M$M du cercle trigonométrique correspondant à l'angle $x$x.

Périodicité

$$\cos (x+2\pi )=\cos (x);\sin (x+2\pi )=\sin (x)$$cos(x + 2π) = cos(x) ; sin(x + 2π) = sin(x)

Parité

• $\cos (-x)=\cos (x)$cos(-x) = cos(x) ($\cos$cos paire).
• $\sin (-x)=-\sin (x)$sin(-x) = -sin(x) ($\sin$sin impaire).

Valeurs particulières

Dérivées

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x;(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$(sin x)' = cos x ; (cos x)' = -sin x

Dérivée de $\sin (u)$sin(u) et $\cos (u)$cos(u)

$$(\sin (u){)}^{\prime }=u^{\prime }\cos (u);(\cos (u){)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin (u)$$(sin(u))' = u' cos(u) ; (cos(u))' = -u' sin(u)

Exemples

$$(\sin (2x){)}^{\prime }=2\cos (2x)$$(sin(2x))' = 2 cos(2x)

$$(\cos (x^2){)}^{\prime }=-2x\sin (x^2)$$(cos(x²))' = -2x sin(x²)

Variations sur $[0;2\pi ]$[0 ; 2π]

Sinus

Cosinus

Courbes

Courbe de $\sin$sin

• Amplitude $1$1.
• Période $2\pi$2π.
• Passe par $(0;0)$(0 ; 0), monte jusqu'à $1$1 en $\pi /2$π/2, redescend.
• Impaire (symétrie par rapport à l'origine).

Courbe de $\cos$cos

• Amplitude $1$1.
• Période $2\pi$2π.
• Passe par $(0;1)$(0 ; 1), descend jusqu'à $-1$-1 en $\pi$π, remonte.
• Paire (symétrie par rapport à l'axe des $y$y).

Identités trigonométriques

Pythagore

$${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$$cos²(x) + sin²(x) = 1

Angles complémentaires

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin (x);\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos (x)$$cos(π/2 - x) = sin(x) ; sin(π/2 - x) = cos(x)

Angles supplémentaires

$$\cos (\pi -x)=-\cos (x);\sin (\pi -x)=\sin (x)$$cos(π - x) = -cos(x) ; sin(π - x) = sin(x)

Formules d'addition

$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Duplication

$$\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$$cos(2x) = cos² x - sin² x = 2cos² x - 1 = 1 - 2sin² x

$$\sin (2x)=2\sin x\cos x$$sin(2x) = 2 sin x cos x

Équations trigonométriques

$\cos (x)=a$cos(x) = a avec $-1\le a\le 1$-1 ≤ a ≤ 1

$$x=\arccos (a)+2k\pi \text{ ou }x=-\arccos (a)+2k\pi$$x = arccos(a) + 2kπ ou x = -arccos(a) + 2kπ

$\sin (x)=a$sin(x) = a

$$x=\arcsin (a)+2k\pi \text{ ou }x=\pi -\arcsin (a)+2k\pi$$x = arcsin(a) + 2kπ ou x = π - arcsin(a) + 2kπ

Exemple

Résoudre $\cos (x)=\frac{1}{2}$cos(x) = 1/2 sur $[0;2\pi ]$[0 ; 2π] :

$$x=\frac{\pi }{3}\text{ ou }x=\frac{5\pi }{3}$$x = π/3 ou x = 5π/3

Applications

Modélisation d'ondes

Une onde sinusoïdale : $y(t)=A\sin (\omega t+\phi )$y(t) = A sin(ω t + φ) avec $A$A amplitude, $\omega$ω pulsation, $\phi$φ phase.

Mouvement circulaire uniforme

Coordonnées : $x(t)=R\cos (\omega t)$x(t) = R cos(ω t), $y(t)=R\sin (\omega t)$y(t) = R sin(ω t).

Phénomènes périodiques

Saisons, marées, signal audio, courants alternatifs.

Erreurs fréquentes à éviter

• Mode calculatrice : utiliser RAD pour la trigonométrie en analyse.
• Confondre dérivée : ${\cos }^{\prime }=-\sin$cos' = -sin, pas $\sin$sin.
• Mauvaise formule d'addition : attention aux signes.
• Oublier les $2k\pi$2kπ dans les solutions d'équations.

FAQ — Fonctions trigonométriques

Pourquoi étudier $\sin$sin et $\cos$cos comme fonctions ?

Parce qu'elles modélisent tous les phénomènes périodiques : ondes, vibrations, signaux, mouvements oscillants.

Pourquoi le radian ?

Le radian est l'unité naturelle : seul système où $(\sin {)}^{\prime }=\cos$(sin)' = cos proprement.

À quoi sert la formule $\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1$cos(2x) = 2cos² x - 1 ?

À linéariser des expressions (${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$cos² x = (1 + cos(2x))/2), très utile en intégration.

Comment résoudre une équation trigonométrique ?

Identifier les solutions de base (sur $[0;2\pi ]$[0 ; 2π] par exemple), puis ajouter les $2k\pi$2kπ.