Question transversaleMathsPhysique-chimieAcides, bases et logarithme

Quelle forme d'un acide domine selon le pH, et pourquoi la courbe a-t-elle une forme en S ?

Q: Calculez α(1) exactement.

$1/(1+10⁻¹)=1/1,1=10/11≈0,91$.

Q: Dérivez α(x) = (1 + 10⁽−x))⁻¹.

$α'(x)=(ln10×10^(-x))/((1+10^(-x))²)>0$, maximale en $x=0$ : la pente la plus forte est au pKa.

Q: Pourquoi un indicateur coloré change-t-il de couleur sur environ deux unités de pH ?

Ses deux formes ont des couleurs différentes ; l'œil voit la teinte d'une forme dès qu'elle dépasse environ 90 %, donc entre pKa − 1 et pKa + 1.

Q: Montrez que la courbe acide est le reflet de la courbe basique.

La proportion acide vaut $1-α(x)=α(-x)$ : c'est la symétrique par rapport à la droite $x=0$, c'est-à-dire $ pH = p Kₐ$.

La proportion de la forme basique vaut α = 1/(1 + 10^(pKa − pH)) : une fonction croissante en S, égale à 50 % à pH = pKa, 91 % une unité au-dessus, 99 % deux unités au-dessus, symétrique par rapport au point (pKa ; 1/2).

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans mon manuel de chimie, un diagramme montrait deux courbes en S qui se croisent : les pourcentages de la forme acide et de la forme basique en fonction du pH. J'ai voulu retrouver l'équation de ces courbes, comprendre pourquoi elles se croisent au pKa et pourquoi elles ont toutes la même forme : il s'agit d'une même fonction, étudiée comme en mathématiques.

L'enjeu et les notions du programme

Établir et étudier une fonction de la forme 1/(1 + 10^(a − x)) : variations, limites, symétrie, et interpréter le diagramme de prédominance.

Mathématiques

Fonctions $x \mapsto a^{x}$ x↦ a^(x), composée, variations (terminale)
Limites en ±∞, asymptotes (terminale)
Symétrie centrale d'une courbe (première)

Physique-chimie

Couple acide-base, pKa (terminale)
Diagrammes de prédominance et de distribution (terminale)
Indicateurs colorés (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un couple $AH / A^{-}$ AH / A ⁻ est présent sous ses deux formes en proportions qui dépendent du pH. Problématique : quelle fonction décrit la proportion de chaque forme, et pourquoi a-t-elle cette allure ?
2. Physique-chimie : la proportion de forme basique
3 min
D'après la relation $pH = p K_{a} + lo g \frac{[ A ^{-} ]}{[ AH ]}$ pH = p Kₐ+log([ A ⁻])/([ AH ]), on a $\frac{[ AH ]}{[ A ^{-} ]} = 1 0^{p K_{a} - pH}$ ([ AH ])/([ A ⁻])=10^(p Kₐ- pH). La proportion de forme basique est $α = \frac{[ A ^{-} ]}{[ A ^{-} ] + [ AH ]} = \frac{1}{1 + [ AH ] / [ A ^{-} ]}$ α=([ A ⁻])/([ A ⁻]+[ AH ])=1/(1+[ AH ]/[ A ⁻]).
D'où $α (pH) = \frac{1}{1 + 1 0 ^{p K_{a} - pH}}$ α( pH )=1/(1+10^(p Kₐ- pH)), et la proportion de forme acide vaut $1 - α$ 1-α.
3. Mathématiques : étude de la courbe en S
4 min
Posons $x = pH - p K_{a}$ x= pH - p Kₐ : $α = \frac{1}{1 + 1 0 ^{- x}}$ α=1/(1+10^(-x)). Quand $x$ x augmente, $1 0^{- x}$ 10^(-x) décroît, donc $α$ α croît. Limites : $α \to 0$ α→0 en $- \infty$ -∞, $α \to 1$ α→1 en $+ \infty$ +∞ : deux asymptotes horizontales.
Valeurs : $α (0) = \frac{1}{2}$ α(0)=1/2 ; $α (1) = \frac{1}{1 , 1} \approx 91$ α(1)=1/1,1≈91 % ; $α (2) \approx 99$ α(2)≈99 % ; $α (- 1) \approx 9$ α(-1)≈9 %. D'où la règle de prédominance : à une unité de pH du pKa, une forme représente déjà 91 %.
Symétrie : $α (- x) = \frac{1}{1 + 1 0 ^{x}} = \frac{1 0 ^{- x}}{1 0 ^{- x} + 1} = 1 - α (x)$ α(-x)=1/(1+10^(x))=(10^(-x))/(10^(-x)+1)=1-α(x). La courbe est symétrique par rapport au point $(p K_{a}; \frac{1}{2})$ ( p Kₐ;1/2), et la courbe de la forme acide est son reflet : les deux se croisent au pKa. C'est une fonction logistique, comme celles qui modélisent la diffusion d'une innovation.
4. Conclusion
2 min
La proportion de forme basique vaut $\frac{1}{1 + 1 0 ^{p K_{a} - pH}}$ 1/(1+10^(p Kₐ- pH)) : une fonction croissante en S, symétrique autour du pKa, qui passe de 9 % à 91 % sur deux unités de pH. J'ouvre sur les indicateurs colorés : leur changement de couleur se fait dans cette zone de pKa ± 1.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

α (pH) = \frac{[ A ^{-} ]}{[ A ^{-} ] + [ AH ]} = \frac{1}{1 + 1 0 ^{p K_{a} - pH}} α( pH )=([ A ⁻])/([ A ⁻]+[ AH ])=1/(1+10^(p Kₐ- pH)) x = pH - p K_{a} : α (0) = \frac{1}{2}, α (1) \approx 0, 91, α (2) \approx 0, 99, α (- 1) \approx 0, 09 x= pH - p Kₐ: α(0)=1/2, α(1)\approx0,91, α(2)\approx0,99, α(-1)\approx0,09 α (- x) = 1 - α (x) α(-x)=1-α(x)

Conclusion : la réponse à la question

Le diagramme de distribution est le graphe de $\frac{1}{1 + 1 0 ^{p K_{a} - pH}}$ 1/(1+10^(p Kₐ- pH)) : une courbe en S croissante, symétrique par rapport à $(p K_{a}; \frac{1}{2})$ ( p Kₐ;1/2). Elle justifie la règle de prédominance : au-delà d'une unité de pH du pKa, une forme domine à plus de 90 %.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez α(1) exactement.

$\frac{1}{1 + 1 0 ^{- 1}} = \frac{1}{1 , 1} = \frac{10}{11} \approx 0, 91$ 1/(1+10⁻¹)=1/1,1=10/11≈0,91.

Dérivez α(x) = (1 + 10^(−x))⁻¹.

$α^{'} (x) = \frac{l n 10 \times 1 0 ^{- x}}{( 1 + 1 0 ^{- x} ) ^{2}} > 0$ α'(x)=(ln10×10^(-x))/((1+10^(-x))²)>0, maximale en $x = 0$ x=0 : la pente la plus forte est au pKa.

Quelle forme de l'acide éthanoïque (pKa 4,8) domine dans le vinaigre à pH 2,5 ?

La forme acide CH₃COOH : le pH est plus de deux unités sous le pKa, α < 1 %.

Pourquoi un indicateur coloré change-t-il de couleur sur environ deux unités de pH ?

Ses deux formes ont des couleurs différentes ; l'œil voit la teinte d'une forme dès qu'elle dépasse environ 90 %, donc entre pKa − 1 et pKa + 1.

Montrez que la courbe acide est le reflet de la courbe basique.

La proportion acide vaut $1 - α (x) = α (- x)$ 1-α(x)=α(-x) : c'est la symétrique par rapport à la droite $x = 0$ x=0, c'est-à-dire $pH = p K_{a}$ pH = p Kₐ.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $1 0^{pH - p K_{a}}$ 10^(pH - p Kₐ) au dénominateur pour la forme basique.
Croire qu'au pKa, la solution est neutre.
Dire qu'une forme disparaît complètement au-delà de pKa + 1.

Revoir les notions

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