Précisez l'erreur de l'approximation $1/(1-x)≈1+x$.

$1/(1-x)-(1+x)=x²/(1-x)$ : elle est de l'ordre de $x²$, soit 0,8 % pour $x=0,088$.

Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Pourquoi le son d'une sirène change-t-il quand l'ambulance passe devant nous ?

Q: Que se passe-t-il si la source va à la vitesse du son ?

$1-v/c→0$ : la fréquence perçue tend vers l'infini, les fronts d'onde s'accumulent ; c'est le « mur du son ».

Q: Quelle vitesse correspond à un décalage de 10 % ?

Dans l'approximation, $v≈0,1c=34$ m/s, environ 122 km/h.

Une source qui s'approche resserre ses fronts d'onde : la fréquence perçue vaut f/(1 − v/c), soit 746 Hz au lieu de 680 Hz pour une ambulance à 30 m/s ; l'approximation affine 1/(1 − x) ≈ 1 + x mène à la formule du radar Δf = 2vf/c.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand une ambulance passe, sa sirène semble plus aiguë quand elle arrive, puis plus grave quand elle s'éloigne, alors que le conducteur entend toujours le même son. J'ai appris que ce même effet sert aux radars routiers et à mesurer la vitesse des galaxies. J'ai voulu établir la formule et comprendre l'approximation qui la rend si pratique.

L'enjeu et les notions du programme

Établir le décalage Doppler par un raisonnement sur les périodes, puis utiliser l'approximation affine pour simplifier une formule physique.

Mathématiques

Approximation affine : $\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x$ 1/(1-x)≈1+x pour $x$ x petit (première)
Fonction inverse, variations (seconde, première)
Calcul de pourcentages d'évolution (seconde)

Physique-chimie

Ondes progressives périodiques : période, fréquence, célérité (première)
Effet Doppler, décalage Doppler (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La sirène émet un son de fréquence $f = 680$ f=680 Hz qui se propage à $c = 340$ c=340 m/s. Problématique : pourquoi la fréquence perçue dépend-elle du mouvement de la source, et de combien ?
2. Physique : des fronts d'onde resserrés
3,5 min
La source émet un « bip » toutes les périodes $T = \frac{1}{f}$ T=1/f. Si elle avance vers nous à la vitesse $v$ v, entre deux bips elle parcourt $v T$ vT : le second bip part plus près de nous. La distance entre deux fronts d'onde successifs, c'est-à-dire la longueur d'onde perçue, devient $λ^{'} = c T - v T = (c - v) T$ λ'=cT-vT=(c-v)T.
La fréquence perçue vaut $f^{'} = \frac{c}{λ ^{'}} = \frac{c}{c - v} f = \frac{f}{1 - \frac{v}{c}}$ f'=c/λ'=c/(c-v)f=f/(1-v/c). Quand la source s'éloigne, on remplace $v$ v par $- v$ -v : $f^{'} = \frac{f}{1 + \frac{v}{c}}$ f'=f/(1+v/c).
Ambulance à $30$ 30 m/s : $f^{'} = 680 \times \frac{340}{310} \approx 746$ f'=680×340/310≈746 Hz à l'approche, $680 \times \frac{340}{370} \approx 625$ 680×340/370≈625 Hz après le passage. Le saut d'environ 120 Hz est bien audible.
3. Mathématiques : l'approximation qui simplifie
3,5 min
La fonction $g (x) = \frac{1}{1 - x}$ g(x)=1/(1-x) vérifie $g (0) = 1$ g(0)=1 et $g^{'} (x) = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ g'(x)=1/((1-x)²), donc $g^{'} (0) = 1$ g'(0)=1. Son approximation affine en 0 est $g (x) \approx 1 + x$ g(x)≈1+x. Pour $x = \frac{v}{c}$ x=v/c petit, $f^{'} \approx f (1 + \frac{v}{c})$ f'≈ f(1+v/c), d'où $\frac{Δ f}{f} \approx \frac{v}{c}$ (Δ f)/fapproxv/c.
Ici $\frac{v}{c} \approx 0, 088$ v/c≈0,088 : l'approximation donne $740$ 740 Hz au lieu de $746$ 746, une erreur inférieure à 1 %. Elle est d'autant meilleure que la vitesse est petite devant la célérité.
Le radar routier envoie une onde de fréquence $f$ f qui se réfléchit sur la voiture : le décalage est doublé, $Δ f \approx \frac{2 v}{c} f$ Δ f≈2v/cf. Avec $f = 24$ f=24 GHz, $c = 3 \times 1 0^{8}$ c=3×10⁸ m/s et $v = 36, 1$ v=36,1 m/s (130 km/h) : $Δ f \approx 5, 8$ Δ f≈5,8 kHz, facile à mesurer.
4. Conclusion
2 min
La sirène change de son parce que son mouvement resserre ou étire les fronts d'onde : la fréquence perçue est $\frac{f}{1 \mp v / c}$ f/(1mp v/c). Pour les petites vitesses, l'approximation affine donne la loi simple $\frac{Δ f}{f} = \frac{v}{c}$ (Δ f)/f=v/c, utilisée par les radars. J'ouvre sur le décalage vers le rouge des galaxies, qui a révélé l'expansion de l'Univers.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

λ^{'} = (c - v) T f^{'} = \frac{f}{1 - \frac{v}{c}} λ'=(c-v) T f'=f/(1-v/c) 680 \times \frac{340}{310} \approx 746 Hz, 680 \times \frac{340}{370} \approx 625 Hz 680\times340/310\approx746 Hz , 680\times340/370\approx625 Hz \frac{1}{1 - x} \approx 1 + x \Rightarrow \frac{Δ f}{f} \approx \frac{v}{c}, Δ f_{radar} \approx \frac{2 v}{c} f 1/(1-x)\approx1+x \Rightarrow (Δ f)/fapproxv/c, Δ f_ radar \approx2v/cf

Conclusion : la réponse à la question

L'effet Doppler vient du mouvement de la source entre deux émissions : il augmente la fréquence perçue à l'approche et la diminue à l'éloignement. L'approximation affine $\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x$ 1/(1-x)≈1+x transforme la formule exacte en une proportionnalité, base des radars et des mesures astronomiques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Le conducteur de l'ambulance entend-il un changement ?

Non : il se déplace avec la source, la distance entre lui et la sirène ne varie pas.

Que se passe-t-il si la source va à la vitesse du son ?

$1 - \frac{v}{c} \to 0$ 1-v/c→0 : la fréquence perçue tend vers l'infini, les fronts d'onde s'accumulent ; c'est le « mur du son ».

Quelle vitesse correspond à un décalage de 10 % ?

Dans l'approximation, $v \approx 0, 1 c = 34$ v≈0,1c=34 m/s, environ 122 km/h.

Pourquoi le décalage est-il doublé pour le radar ?

La voiture reçoit une fréquence décalée (observateur en mouvement), puis la réémet en étant une source en mouvement : deux décalages successifs.

Précisez l'erreur de l'approximation

\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x

1/(1-x)≈1+x.

$\frac{1}{1 - x} - (1 + x) = \frac{x ^{2}}{1 - x}$ 1/(1-x)-(1+x)=x²/(1-x) : elle est de l'ordre de $x^{2}$ x², soit 0,8 % pour $x = 0, 088$ x=0,088.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le son devient plus fort au lieu de plus aigu (fréquence et intensité sont deux choses).
Inverser les signes entre approche et éloignement.
Oublier le facteur 2 du radar.

Revoir les notions

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Autres questions : ondes et signaux

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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