Résolvez $10logI/I₀=90$.

$I/I₀=10⁹$, donc $I=10⁻³$ W/m².

Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Pourquoi mesure-t-on le bruit en décibels, avec un logarithme ?

Q: Justifiez 10 log 2 ≈ 3.

$2¹⁰=1 024≈10³$, donc $10log2≈log10³=3$.

Q: Un niveau peut-il être négatif ?

Oui, si $I<I₀$ : le son existe mais n'est pas perçu par une oreille moyenne.

Q: Pourquoi ajoute-t-on des décibels « bizarrement » ?

On ajoute les intensités, pas les niveaux : on repasse par I = I₀ × 10⁽L/10), on additionne, puis on reprend le logarithme.

Q: Quel lien entre log et ln ?

$log x=(ln x)/ln10$ : c'est la fonction logarithme qui vaut 1 en 10.

L'oreille perçoit des intensités de 10⁻¹² à 1 W/m² ; le niveau L = 10 log(I/I₀) ramène cet écart à une échelle de 0 à 120 dB, où doubler l'intensité ajoute 3 dB et la multiplier par 10 ajoute 10 dB.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Sur la notice de mon casque, il est écrit de ne pas dépasser 85 dB, et j'ai lu qu'un concert atteint 110 dB. Je pensais naïvement qu'un concert était donc « un peu plus fort ». En réalité, il transporte plus de 300 fois plus d'énergie sonore. J'ai voulu comprendre pourquoi on utilise une échelle logarithmique et comment elle trompe notre intuition.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les propriétés algébriques du logarithme pour comprendre une échelle de mesure et calculer l'effet de plusieurs sources sonores.

Mathématiques

Logarithme népérien et logarithme décimal $lo g x = \frac{l n x}{l n 10}$ log x=(ln x)/(ln 10) (terminale)
Propriété $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ log(ab)=log a+log b (terminale)
Puissances de 10 (seconde)

Physique-chimie

Intensité sonore, niveau d'intensité sonore en décibels (terminale)
Seuil d'audibilité et seuil de douleur (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'intensité sonore $I$ I, en W/m², mesure la puissance reçue par unité de surface. Problématique : pourquoi ne l'affiche-t-on pas directement, et que signifie un niveau en décibels ?
2. Physique : un écart immense
2,5 min
L'oreille humaine perçoit des intensités allant de $I_{0} = 1 0^{- 12}$ I₀=10⁻¹² W/m² (seuil d'audibilité) à environ $1$ 1 W/m² (seuil de douleur) : un rapport de $1 0^{12}$ 10¹². Une échelle linéaire serait illisible : un chuchotement à $1 0^{- 10}$ 10⁻¹⁰, une conversation à $1 0^{- 6}$ 10⁻⁶.
De plus, notre sensation suit à peu près les rapports d'intensité, pas les différences : passer de 1 à 2 violons s'entend autant que passer de 10 à 20. C'est la loi psychophysique de Weber-Fechner.
3. Mathématiques : l'échelle logarithmique
4,5 min
On définit $L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ L=10logI/I₀. Comme $lo g 1 0^{k} = k$ log10^(k)=k : $L = 0$ L=0 dB au seuil, $60$ 60 dB pour $1 0^{- 6}$ 10⁻⁶ W/m², $120$ 120 dB au seuil de douleur. Le logarithme transforme les multiplications en additions :
$L (k I) = 10 lo g k + L (I)$ L(kI)=10log k+L(I).
Conséquences : doubler l'intensité ajoute $10 lo g 2 \approx 3$ 10log2≈3 dB ; multiplier par 10 ajoute 10 dB ; par 100, 20 dB. Deux scooters à 80 dB donnent 83 dB, pas 160 dB. Inversement, $I = I_{0} \times 1 0^{L /10}$ I=I₀×10^(L/10) : passer de 85 dB à 110 dB, c'est multiplier l'intensité par $1 0^{2, 5} \approx 316$ 10^(2,5)≈316.
La règle de l'audition « 3 dB de plus = durée d'exposition sans danger divisée par deux » se comprend ainsi : 3 dB, c'est deux fois plus d'énergie reçue chaque seconde.
4. Conclusion
2 min
On mesure le bruit en décibels parce que le logarithme ramène un rapport de $1 0^{12}$ 10¹² à une échelle de 0 à 120 et correspond mieux à notre perception. Mais il faut se méfier : quelques décibels de plus représentent beaucoup plus d'énergie. J'ouvre sur d'autres échelles logarithmiques : magnitude des séismes, pH, magnitude des étoiles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}, I_{0} = 1 0^{- 12} W/m^{2} L=10logI/I₀, I₀=10⁻¹² W/m ² L (k I) = L (I) + 10 lo g k : k = 2 \to + 3 dB, k = 10 \to + 10 dB L(kI)=L(I)+10log k: k=2\to+3 dB , k=10\to+10 dB 110 - 85 = 25 dB \Rightarrow \frac{I _{2}}{I _{1}} = 1 0^{2, 5} \approx 316 110-85=25 dB \Rightarrow I₂/I₁=10^(2,5)\approx316

Conclusion : la réponse à la question

Le décibel est un logarithme d'intensité : il comprime un rapport de mille milliards en 120 unités et additionne quand les intensités se multiplient. Retenir que 3 dB correspondent à un doublement de l'énergie évite de sous-estimer le danger des sons forts.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quel niveau donnent 10 sources identiques de 70 dB ?

$70 + 10 lo g 10 = 80$ 70+10log10=80 dB.

Justifiez 10 log 2 ≈ 3.

$2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰=1 024≈10³, donc $10 lo g 2 \approx lo g 1 0^{3} = 3$ 10log2≈log10³=3.

Un niveau peut-il être négatif ?

Oui, si $I < I_{0}$ I<I₀ : le son existe mais n'est pas perçu par une oreille moyenne.

Pourquoi ajoute-t-on des décibels « bizarrement » ?

On ajoute les intensités, pas les niveaux : on repasse par I = I₀ × 10^(L/10), on additionne, puis on reprend le logarithme.

Résolvez

10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 90

10logI/I₀=90.

$\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{9}$ I/I₀=10⁹, donc $I = 1 0^{- 3}$ I=10⁻³ W/m².

Quel lien entre log et ln ?

$lo g x = \frac{l n x}{l n 10}$ log x=(ln x)/ln10 : c'est la fonction logarithme qui vaut 1 en 10.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner directement les décibels de deux sources.
Penser que 120 dB est « deux fois plus fort » que 60 dB.
Oublier le facteur 10 devant $lo g$ log.

Revoir les notions

Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

Autres questions : ondes et signaux

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Préparer l'oral, pas seulement le contenu

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