Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Pourquoi le niveau sonore baisse-t-il de 6 décibels chaque fois qu'on double la distance ?

Q: À quelle distance une enceinte à 100 dB à 1 m donne-t-elle 70 dB ?

$20log r=30$ donne $r=10^(1,5)≈32$ m.

Une source ponctuelle répartit sa puissance sur une sphère : I = P/(4πr²) ; doubler r divise I par 4, et le niveau perd 20 log 2 ≈ 6 dB. Une enceinte à 100 dB à 1 m ne donne plus que 60 dB à 100 m.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'un concert en plein air, je me suis éloigné de la scène et le son a vite diminué, puis de moins en moins. Un technicien m'a dit qu'on perd « 6 dB à chaque doublement de distance ». J'ai voulu démontrer cette règle et comprendre pourquoi elle fait intervenir un carré, puis un logarithme.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une loi géométrique en 1/r² à une décroissance logarithmique du niveau sonore.

Mathématiques

Aire de la sphère, fonction inverse du carré (collège, seconde)
Logarithme : $lo g (a^{2}) = 2 lo g a$ log(a²)=2log a (terminale)
Suites géométriques (première)

Physique-chimie

Intensité sonore, puissance d'une source (terminale)
Atténuation géométrique d'une onde, niveau sonore (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On assimile une enceinte à une source ponctuelle qui émet une puissance $P$ P dans toutes les directions. Problématique : comment varie le niveau sonore avec la distance ?
2. Physique : la puissance se répartit sur une sphère
3 min
À la distance $r$ r, l'énergie émise pendant une seconde se répartit sur une sphère d'aire $4 π r^{2}$ 4π r². L'intensité vaut donc $I (r) = \frac{P}{4 π r ^{2}}$ I(r)=P/(4π r²), en W/m², si l'air n'absorbe rien.
Ainsi $\frac{I ( 2 r )}{I ( r )} = \frac{1}{4}$ I(2r)/I(r)=1/4 : doubler la distance divise l'intensité par 4, et la multiplier par 10 la divise par 100. C'est l'atténuation géométrique, la même loi en $\frac{1}{r ^{2}}$ 1/r² que pour la lumière d'une lampe ou l'attraction gravitationnelle.
3. Mathématiques : traduction en décibels
4 min
Le niveau vaut $L (r) = 10 lo g \frac{I ( r )}{I _{0}}$ L(r)=10logI(r)/I₀. Donc $L (r) - L (2 r) = 10 lo g \frac{I ( r )}{I ( 2 r )} = 10 lo g 4 = 20 lo g 2 \approx 6$ L(r)-L(2r)=10logI(r)/I(2r)=10log4=20log2≈6 dB. De même, $L (r) - L (10 r) = 20 lo g 10 = 20$ L(r)-L(10r)=20log10=20 dB.
Plus généralement, $L (r) = L (1) - 20 lo g r$ L(r)=L(1)-20log r ( $r$ r en mètres) : le niveau décroît comme le logarithme de la distance. Exemple : une enceinte à $100$ 100 dB à 1 m donne $94$ 94 dB à 2 m, $80$ 80 dB à 10 m et $60$ 60 dB à 100 m. Les distances 1, 2, 4, 8, 16 m (suite géométrique de raison 2) donnent des niveaux 100, 94, 88, 82, 76 dB (suite arithmétique de raison −6).
C'est pourquoi s'éloigner d'une enceinte est très efficace au début (on gagne 6 dB en reculant d'un mètre) puis de moins en moins (il faut reculer de 50 m pour gagner 6 dB de plus à partir de 50 m).
4. Conclusion
2 min
Le niveau baisse de 6 dB par doublement de distance parce que l'intensité, répartie sur une sphère, décroît comme $\frac{1}{r ^{2}}$ 1/r², et que le logarithme transforme ce carré en un facteur 2. J'ouvre sur l'absorption par l'air, qui s'ajoute à grande distance et atténue surtout les aigus : de loin, on entend surtout les basses d'un concert.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

I (r) = \frac{P}{4 π r ^{2}} \frac{I ( 2 r )}{I ( r )} = \frac{1}{4} I(r)=P/(4π r²) I(2r)/I(r)=1/4 L (r) - L (2 r) = 10 lo g 4 = 20 lo g 2 \approx 6 dB L(r)-L(2r)=10log4=20log2\approx6 dB r : 1, 2, 4, 8 m ⟶ L : 100, 94, 88, 82 dB r: 1, 2, 4, 8 m longrightarrow L: 100, 94, 88, 82 dB

Conclusion : la réponse à la question

L'intensité d'une source ponctuelle décroît en $\frac{1}{r ^{2}}$ 1/r², donc le niveau sonore perd $20 lo g 2 \approx 6$ 20log2≈6 dB à chaque doublement de distance. Une suite géométrique de distances donne une suite arithmétique de niveaux : c'est la signature du logarithme.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

À quelle distance une enceinte à 100 dB à 1 m donne-t-elle 70 dB ?

$20 lo g r = 30$ 20log r=30 donne $r = 1 0^{1, 5} \approx 32$ r=10^(1,5)≈32 m.

Pourquoi l'aire de la sphère ?

L'énergie se conserve et se propage dans toutes les directions : à chaque instant, elle traverse une sphère centrée sur la source.

La règle vaut-elle tout près d'une enceinte ?

Non : la source n'est plus ponctuelle à l'échelle de sa taille. La loi vaut à quelques fois les dimensions de l'enceinte.

Et dans un couloir ou une salle ?

Les réflexions sur les murs renvoient une partie de l'énergie : le niveau diminue moins vite que 6 dB par doublement.

Démontrez log(4) = 2 log(2).

$lo g (2 \times 2) = lo g 2 + lo g 2$ log(2×2)=log2+log2.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que le niveau est divisé par 2 quand la distance double.
Utiliser 10 log 2 (3 dB) au lieu de 20 log 2 (6 dB).
Confondre intensité (W/m²) et puissance (W).

Revoir les notions

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