Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Comment mesurer l'épaisseur d'un cheveu avec un laser et une règle ?

Q: Pourquoi l'angle doit-il être en radians ?

L'approximation $tanθ≈θ$ vient de la dérivée de tan en 0, qui vaut 1 seulement si $θ$ est en radians.

Q: Que devient la tache avec un laser vert (532 nm) ?

Elle est plus étroite, dans le rapport $532/650≈0,82$.

Q: Quelle incertitude si L est mesurée à 1 mm près ?

Incertitude relative $1/26≈4$ % sur $L$, donc environ 4 % sur $a$ : $a=0,100±0,004$ mm.

Un cheveu diffracte un laser : la tache centrale a une largeur L ≈ 2λD/a, inversement proportionnelle à l'épaisseur a ; une tache de 2,6 cm à 2 m avec λ = 650 nm donne a = 0,1 mm.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, notre professeur a placé un cheveu devant un laser : sur le mur est apparue une tache allongée, entourée de petites taches, beaucoup plus large que le cheveu lui-même. Il nous a dit qu'on pouvait en déduire l'épaisseur du cheveu sans microscope. J'ai voulu comprendre la formule de la diffraction et l'exploiter avec une fonction inverse.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'approximation des petits angles et une relation de proportionnalité inverse pour mesurer une très petite dimension.

Mathématiques

Approximation $tan θ \approx θ$ tanθ≈θ pour un petit angle en radians (première, terminale)
Fonction inverse, proportionnalité inverse (seconde)
Ajustement d'une série de mesures, droite passant par l'origine (seconde)

Physique-chimie

Diffraction d'une onde par une ouverture ou un obstacle, θ = λ/a (terminale)
Mesures et incertitudes (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un cheveu mesure moins d'un dixième de millimètre : impossible avec une règle. Problématique : comment la diffraction de la lumière permet-elle de le mesurer ?
2. Physique : la diffraction
3 min
Quand une onde rencontre un obstacle ou une ouverture de taille $a$ a comparable à sa longueur d'onde $λ$ λ, elle s'étale : c'est la diffraction. Pour une fente ou un fil (théorème de Babinet), l'écart angulaire entre le centre et la première extinction vaut $θ = \frac{λ}{a}$ θ=fracλ a, en radians.
Plus l'obstacle est fin, plus la tache est large : c'est le contraire de l'ombre géométrique. Avec $λ = 650$ λ=650 nm et un cheveu de $0, 1$ 0,1 mm, $θ = 6, 5 \times 1 0^{- 3}$ θ=6,5×10⁻³ rad, environ $0, 37°$ 0,37°.
3. Mathématiques : de l'angle à l'épaisseur
4 min
Sur un écran à la distance $D$ D, la demi-largeur de la tache centrale vaut $D tan θ$ Dtanθ. Pour un angle petit, $tan θ \approx θ$ tanθ≈θ (en radians) : $\frac{L}{2} \approx D θ = \frac{λ D}{a}$ L/2≈ Dθ=(λ D)/a, d'où $L \approx \frac{2 λ D}{a}$ L≈(2λ D)/a et $a \approx \frac{2 λ D}{L}$ a≈(2λ D)/L.
Mesure : $D = 2$ D=2 m, $L = 2, 6$ L=2,6 cm. Alors $a = \frac{2 \times 6 , 5 \times 1 0 ^{- 7} \times 2}{2 , 6 \times 1 0 ^{- 2}} = 1 0^{- 4}$ a=2×6,5×10⁻⁷×2/2,6×10⁻²=10⁻⁴ m, soit $0, 1$ 0,1 mm.
Pour fiabiliser la mesure, on étalonne avec des fils d'épaisseurs connues : on trace $L$ L en fonction de $\frac{1}{a}$ 1/a, et l'on obtient une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $2 λ D$ 2λ D. La largeur mesurée pour le cheveu donne son $\frac{1}{a}$ 1/a par lecture graphique. Une fonction inverse devient ainsi une relation linéaire.
4. Conclusion
2 min
On mesure un cheveu avec un laser parce que la largeur de la tache de diffraction est inversement proportionnelle à son épaisseur : $a = \frac{2 λ D}{L}$ a=(2λ D)/L. L'approximation des petits angles et le tracé en fonction de $\frac{1}{a}$ 1/a rendent la mesure simple et précise. J'ouvre sur la limite de résolution des microscopes et des télescopes, fixée elle aussi par la diffraction.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

θ = \frac{λ}{a} tan θ \approx θ \Rightarrow L \approx \frac{2 λ D}{a} θ=λ/a tanθ\approxθ \Rightarrow L\approx(2λ D)/a a = \frac{2 λ D}{L} = \frac{2 \times 6 , 5 \times 1 0 ^{- 7} \times 2}{2 , 6 \times 1 0 ^{- 2}} = 1, 0 \times 1 0^{- 4} m a=(2λ D)/L=2\times6,5\times10⁻⁷\times2/2,6\times10⁻²=1,0\times10⁻⁴ m L = 2 λ D \times \frac{1}{a} (droite en fonction de 1/ a) L=2λ D\times1/a ( droite en fonction de 1/a)

Conclusion : la réponse à la question

La diffraction transforme une dimension microscopique en une tache de plusieurs centimètres : $L = \frac{2 λ D}{a}$ L=(2λ D)/a. Avec un laser, une règle et l'approximation des petits angles, on mesure un cheveu à 0,1 mm près.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'angle doit-il être en radians ?

L'approximation $tan θ \approx θ$ tanθ≈θ vient de la dérivée de tan en 0, qui vaut 1 seulement si $θ$ θ est en radians.

Que devient la tache avec un laser vert (532 nm) ?

Elle est plus étroite, dans le rapport $\frac{532}{650} \approx 0, 82$ 532/650≈0,82.

Pourquoi tracer L en fonction de 1/a plutôt que de a ?

On obtient une droite, dont on vérifie l'alignement et dont on lit le coefficient directeur ; une courbe d'hyperbole se lit mal.

Quelle incertitude si L est mesurée à 1 mm près ?

Incertitude relative $\frac{1}{26} \approx 4$ 1/26≈4 % sur $L$ L, donc environ 4 % sur $a$ a : $a = 0, 100 \pm 0, 004$ a=0,100±0,004 mm.

Pourquoi la diffraction des sons s'observe-t-elle partout ?

Les longueurs d'onde sonores (de quelques centimètres à quelques mètres) sont comparables aux portes et aux murs : on entend derrière un obstacle.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre la largeur totale de la tache et sa demi-largeur.
Calculer θ en degrés dans θ = λ/a.
Croire qu'un obstacle plus fin donne une tache plus petite.

Revoir les notions

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