Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Comment deux faisceaux de lumière peuvent-ils produire de l'obscurité ?

Q: Que devient l'interfrange si l'on rapproche les fentes ?

$i=(λ D)/b$ augmente : les franges s'écartent.

Q: Justifiez √(1 + u) ≈ 1 + u/2.

Approximation affine de $u↦√(1+u)$ en 0 : la dérivée vaut $1/(2√(1+u))$, soit $1/2$ en 0.

Deux ondes qui arrivent avec une différence de marche d'une demi-longueur d'onde s'annulent ; pour deux fentes, cette différence vaut environ bx/D, d'où des franges espacées de i = λD/b, soit 4 mm pour λ = 600 nm, D = 2 m, b = 0,3 mm.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons éclairé deux fentes très fines avec un laser : au lieu de deux taches, l'écran montrait une série de bandes brillantes et sombres. Je n'arrivais pas à admettre qu'ajouter de la lumière à de la lumière puisse donner du noir. J'ai voulu expliquer ce phénomène avec les fonctions sinusoïdales et retrouver par le calcul la distance entre les franges.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la somme de deux sinusoïdes et une approximation affine de la racine carrée pour expliquer une expérience fondatrice de la nature ondulatoire de la lumière.

Mathématiques

Fonctions cosinus et sinus, périodicité, déphasage (première, terminale)
Approximation affine $1 + u \approx 1 + \frac{u}{2}$ √(1+u)≈1+u/2 (première)
Repère, distance entre deux points (seconde)

Physique-chimie

Interférences de deux ondes, différence de chemin, conditions d'interférences constructives et destructives (terminale)
Fentes de Young, interfrange (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
En 1801, Thomas Young fait passer la lumière par deux fentes proches et observe des franges. Problématique : comment deux faisceaux lumineux peuvent-ils s'éteindre mutuellement, et où se trouvent les franges sombres ?
2. Physique et maths : additionner deux sinusoïdes
3 min
En un point de l'écran, chaque fente envoie une onde de même amplitude et de même fréquence, $A cos (ω t)$ Acos(ω t) et $A cos (ω t - φ)$ Acos(ω t-φ), décalées parce qu'elles n'ont pas parcouru le même chemin. Le déphasage vaut $φ = \frac{2 π δ}{λ}$ φ=2πδ/λ, où $δ$ δ est la différence de marche.
Si $δ = k λ$ δ=kλ, les deux cosinus coïncident : l'amplitude double (frange brillante). Si $δ = (k + \frac{1}{2}) λ$ δ=(k+1/2)λ, $cos (ω t - π) = - cos (ω t)$ cos(ω t-π)=-cos(ω t) : la somme est nulle à chaque instant (frange sombre). La lumière est une onde : des creux peuvent compenser des bosses.
3. Calcul de la différence de marche
4 min
Repère : fentes en $(0; \pm \frac{b}{2})$ (0;pmb/2), écran à la distance $D$ D, point d'abscisse $x$ x sur l'écran. Les distances valent $d_{\pm} = D^{2} + (x \mp \frac{b}{2})^{2} = D 1 + \frac{( x \mp b /2 ) ^{2}}{D ^{2}}$ d_±=√(D²+(xmpb/2)²)=D√(1+((xmp b/2)²)/D²).
Comme $x$ x et $b$ b sont très petits devant $D$ D, $1 + u \approx 1 + \frac{u}{2}$ √(1+u)≈1+u/2 donne $d_{\pm} \approx D + \frac{( x \mp b /2 ) ^{2}}{2 D}$ d_±≈ D+((xmp b/2)²)/2D. En soustrayant : $δ \approx \frac{( x + b /2 ) ^{2} - ( x - b /2 ) ^{2}}{2 D} = \frac{b x}{D}$ δ≈((x+b/2)²-(x-b/2)²)/2D=bx/D.
Les franges brillantes sont en $\frac{b x}{D} = k λ$ bx/D=kλ, soit $x = k \frac{λ D}{b}$ x=k(λ D)/b : elles sont équidistantes, espacées de $i = \frac{λ D}{b}$ i=(λ D)/b. Avec $λ = 600$ λ=600 nm, $D = 2$ D=2 m et $b = 0, 3$ b=0,3 mm : $i = \frac{6 \times 1 0 ^{- 7} \times 2}{3 \times 1 0 ^{- 4}} = 4 \times 1 0^{- 3}$ i=6×10⁻⁷×2/3×10⁻⁴=4×10⁻³ m, soit 4 mm.
4. Conclusion
2 min
Deux faisceaux de lumière produisent de l'obscurité quand leurs ondes arrivent en opposition de phase : la somme de deux sinusoïdes déphasées de $π$ π est nulle. L'approximation de la racine carrée donne un interfrange $\frac{λ D}{b}$ (λ D)/b, qui permet de mesurer une longueur d'onde avec une règle. J'ouvre sur les interféromètres qui ont détecté les ondes gravitationnelles en 2015.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A cos (ω t) + A cos (ω t - π) = 0 φ = \frac{2 π δ}{λ} Acos(ω t)+Acos(ω t-π)=0 φ=2πδ/λ D^{2} + (x \mp \frac{b}{2})^{2} \approx D + \frac{( x \mp \frac{b}{2} ) ^{2}}{2 D} \Rightarrow δ \approx \frac{b x}{D} \sqrt(D²+(xmpb/2)²)\approx D+((xmpb/2)²)/2D \Rightarrow δapproxbx/D i = \frac{λ D}{b} = \frac{6 \times 1 0 ^{- 7} \times 2}{3 \times 1 0 ^{- 4}} = 4 mm i=(λ D)/b=6\times10⁻⁷\times2/3\times10⁻⁴=4 mm

Conclusion : la réponse à la question

De la lumière ajoutée à de la lumière peut donner de l'obscurité, parce que la lumière est une onde : deux ondes en opposition de phase s'annulent. Le calcul de la différence de marche, $\frac{b x}{D}$ bx/D, prévoit des franges régulièrement espacées de $\frac{λ D}{b}$ (λ D)/b, exactement ce qu'on observe.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi utilise-t-on un laser ?

Les deux ondes doivent avoir la même fréquence et un déphasage constant (sources cohérentes) ; le laser, monochromatique, le garantit en éclairant les deux fentes.

Que devient l'interfrange si l'on rapproche les fentes ?

$i = \frac{λ D}{b}$ i=(λ D)/b augmente : les franges s'écartent.

Justifiez √(1 + u) ≈ 1 + u/2.

Approximation affine de $u \mapsto 1 + u$ u↦√(1+u) en 0 : la dérivée vaut $\frac{1}{2 1 + u}$ 1/(2√(1+u)), soit $\frac{1}{2}$ 1/2 en 0.

Où est passée l'énergie des franges sombres ?

Elle est redistribuée vers les franges brillantes, où l'intensité vaut quatre fois celle d'une seule fente : l'énergie totale se conserve.

Avec de la lumière blanche, qu'observe-t-on ?

Une frange centrale blanche (δ = 0 pour toutes les couleurs), puis des franges irisées, car l'interfrange dépend de λ.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre différence de marche et déphasage.
Oublier de convertir les nanomètres et les millimètres en mètres.
Dire que la lumière « disparaît » dans les franges sombres.

Revoir les notions

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