Question transversaleMathsPhysique-chimieAcides, bases et logarithme

Si l'on mélange deux solutions acides, le pH du mélange est-il la moyenne des pH ?

Q: Et avec un volume de pH 2 pour neuf volumes de pH 4 ?

$(10⁻²+9×10⁻⁴)/10=1,09×10⁻³$ : pH ≈ 2,96.

Q: Démontrez √(ab) ≤ (a + b)/2.

$(a+b)/2-√(ab)=(( √a - √b )²)/2≥0$.

Q: Pourquoi log est-elle concave ?

Sa dérivée $1/xln10$ est décroissante sur $]0;+∞[$ ; sa dérivée seconde $-1/x²ln10$ est négative.

Mélanger à volumes égaux deux acides forts de pH 2 et 4 donne [H₃O⁺] = (10⁻² + 10⁻⁴)/2 et un pH de 2,30, pas 3 : on moyenne les concentrations, pas leurs logarithmes, et la concavité du logarithme explique l'écart.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, un camarade a mélangé une solution à pH 2 et une à pH 4 et a prévu un pH de 3. Le pH-mètre a affiché 2,3. Nous avons cherché l'erreur : il avait fait la moyenne des pH. J'ai voulu comprendre pourquoi ce raisonnement est faux et montrer, avec la concavité du logarithme, que le pH du mélange est toujours plus proche du plus acide.

L'enjeu et les notions du programme

Appliquer la conservation de la matière, puis utiliser la concavité du logarithme pour comparer le logarithme d'une moyenne et la moyenne des logarithmes.

Mathématiques

Logarithme, propriétés (terminale)
Convexité et concavité, position d'une courbe par rapport à ses cordes (terminale)
Moyennes (seconde)

Physique-chimie

pH, acide fort (terminale)
Quantité de matière, concentration, mélange (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On mélange un volume $V$ V d'acide chlorhydrique à pH 2 et un volume $V$ V à pH 4. Problématique : quel est le pH du mélange, et pourquoi n'est-ce pas 3 ?
2. Physique-chimie : la conservation des ions
3 min
Les quantités d'ions oxonium s'additionnent : $n = 1 0^{- 2} V + 1 0^{- 4} V$ n=10⁻²V+10⁻⁴V, dans un volume $2 V$ 2V. La concentration vaut $\frac{1 0 ^{- 2} + 1 0 ^{- 4}}{2} = 5, 05 \times 1 0^{- 3}$ (10⁻²+10⁻⁴)/2=5,05×10⁻³ mol/L, et le pH $- lo g (5, 05 \times 1 0^{- 3}) \approx 2, 30$ -log(5,05×10⁻³)≈2,30.
C'est la moyenne des concentrations qui a un sens physique, pas celle des pH. La solution à pH 2 contient cent fois plus d'ions que l'autre : elle impose presque son pH, à $lo g 2 \approx 0, 3$ log2≈0,3 près, puisque la dilution par 2 fait gagner $0, 3$ 0,3.
3. Mathématiques : la concavité du logarithme
4 min
Le pH du mélange vaut $- lo g \frac{c _{1} + c _{2}}{2}$ -log(c₁+c₂)/2, la moyenne des pH vaut $- \frac{l o g c _{1} + l o g c _{2}}{2}$ -(log c₁+log c₂)/2. Comparer revient à comparer $lo g \frac{c _{1} + c _{2}}{2}$ log(c₁+c₂)/2 et $\frac{l o g c _{1} + l o g c _{2}}{2}$ (log c₁+log c₂)/2.
La fonction $lo g$ log est concave (sa dérivée $\frac{1}{x l n 10}$ 1/xln10 est décroissante) : sa courbe est au-dessus de ses cordes. Le milieu de la corde entre $(c_{1}; lo g c_{1})$ (c₁;log c₁) et $(c_{2}; lo g c_{2})$ (c₂;log c₂) est donc sous la courbe : $\frac{l o g c _{1} + l o g c _{2}}{2} \leq lo g \frac{c _{1} + c _{2}}{2}$ (log c₁+log c₂)/2≤log(c₁+c₂)/2. Ainsi, $pH_{m \overset{e}{ˊ} lange} \leq \frac{pH _{1} + pH _{2}}{2}$ pH _ mélange ≤(pH ₁+ pH ₂)/2, avec égalité seulement si $c_{1} = c_{2}$ c₁=c₂.
Autre lecture : $\frac{l o g c _{1} + l o g c _{2}}{2} = lo g c_{1} c_{2}$ (log c₁+log c₂)/2=log√(c₁c₂). Moyenner les pH revient à prendre la moyenne géométrique des concentrations, toujours inférieure à la moyenne arithmétique ( $c_{1} c_{2} \leq \frac{c _{1} + c _{2}}{2}$ √(c₁c₂)≤(c₁+c₂)/2, car $(c_{1} - c_{2})^{2} \geq 0$ (√(c₁)-√(c₂))²≥0).
4. Conclusion
2 min
Le pH d'un mélange n'est pas la moyenne des pH : on moyenne les concentrations, puis on prend le logarithme. Par concavité du logarithme, le pH du mélange est toujours inférieur ou égal à la moyenne des pH, donc plus proche de la solution la plus acide. J'ouvre sur les décibels, où l'on ne moyenne pas non plus les niveaux sonores.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

[H_{3} O^{+}] = \frac{1 0 ^{- 2} + 1 0 ^{- 4}}{2} = 5, 05 \times 1 0^{- 3} \Rightarrow pH \approx 2, 30 \neq = 3 [ H ₃ O ⁺]=(10⁻²+10⁻⁴)/2=5,05\times10⁻³ \Rightarrow pH \approx2,30\neq3 \frac{lo g c _{1} + lo g c _{2}}{2} = lo g c_{1} c_{2} \leq lo g \frac{c _{1} + c _{2}}{2} (log c₁+log c₂)/2=log\sqrt(c₁c₂)\leqlog(c₁+c₂)/2 pH_{m \overset{e}{ˊ} lange} \leq \frac{pH _{1} + pH _{2}}{2} pH _ mélange \leq(pH ₁+ pH ₂)/2

Conclusion : la réponse à la question

On ne fait pas la moyenne de deux pH : les ions oxonium s'additionnent, et c'est leur concentration moyenne qui donne le pH. La concavité du logarithme garantit que le mélange est plus acide que la moyenne des pH ne le laisserait croire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Et avec un volume de pH 2 pour neuf volumes de pH 4 ?

$\frac{1 0 ^{- 2} + 9 \times 1 0 ^{- 4}}{10} = 1, 09 \times 1 0^{- 3}$ (10⁻²+9×10⁻⁴)/10=1,09×10⁻³ : pH ≈ 2,96.

Démontrez √(ab) ≤ (a + b)/2.

$\frac{a + b}{2} - ab = \frac{( a - b ) ^{2}}{2} \geq 0$ (a+b)/2-√(ab)=(( √a - √b )²)/2≥0.

Que se passe-t-il si l'on mélange un acide et une base ?

Ils réagissent : il faut d'abord écrire la réaction et faire un bilan de matière, puis calculer le pH de ce qui reste.

Pourquoi log est-elle concave ?

Sa dérivée $\frac{1}{x l n 10}$ 1/xln10 est décroissante sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[ ; sa dérivée seconde $- \frac{1}{x ^{2} l n 10}$ -1/x²ln10 est négative.

Le calcul vaut-il pour deux acides faibles ?

Non : leur dissociation change avec la dilution et ils interagissent ; le calcul est plus complexe.

Les pièges qui coûtent des points

Faire la moyenne des pH.
Oublier que le volume total double.
Appliquer le raisonnement à un mélange acide-base sans écrire la réaction.

Revoir les notions

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