Question transversaleMathsPhysique-chimieThermodynamique

Pourquoi la pression de l'air diminue-t-elle exponentiellement avec l'altitude ?

Q: Pourquoi la pression varie-t-elle de façon affine dans l'eau ?

L'eau est presque incompressible : $ρ$ est constante, donc $P'=-ρ g$ s'intègre en une fonction affine (1 bar tous les 10 m).

Q: Vérifiez l'unité de H = RT/(Mg).

$(J/mol)/(kg/mol × m/s ²)=(kg·m ² /s ²)/(kg·m/s ²)= m $.

L'équilibre d'une tranche d'air donne P' = −ρg, et le gaz parfait ρ ∝ P : d'où P' = −P/H et P = P₀e^(−z/H) avec H ≈ 8 km ; au sommet de l'Everest, la pression n'est plus que le tiers de celle du niveau de la mer.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En montagne, j'ai vu un paquet de chips gonfler en montant en voiture, et j'ai appris que les alpinistes de l'Everest ont besoin d'oxygène. La pression diminue avec l'altitude, mais je me demandais selon quelle loi. En combinant l'équilibre d'une couche d'air et la loi des gaz parfaits, j'ai retrouvé l'équation $y^{'} = a y$ y'=ay : la pression est une exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Obtenir une équation différentielle à partir de deux lois physiques et la résoudre ; interpréter une échelle de hauteur caractéristique.

Mathématiques

Équation différentielle y' = ay (terminale)
Fonction exponentielle, logarithme (terminale)

Physique-chimie

Modèle du gaz parfait, masse volumique d'un gaz (terminale)
Statique des fluides, loi fondamentale (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Au niveau de la mer, la pression vaut environ $1013$ 1 013 hPa. Problématique : comment évolue-t-elle avec l'altitude, et pourquoi suivant une exponentielle ?
2. Physique : deux lois
3 min
Une fine tranche d'air d'épaisseur $d z$ dz est en équilibre : la pression en bas doit supporter son poids en plus de la pression en haut. D'où $P (z + d z) - P (z) = - ρ g d z$ P(z+dz)-P(z)=-ρ g dz, soit $P^{'} (z) = - ρ g$ P'(z)=-ρ g (loi de la statique des fluides).
Pour l'eau, $ρ$ ρ est constante et la pression varie de façon affine. Mais l'air est compressible : d'après la loi des gaz parfaits, $ρ = \frac{P M}{R T}$ ρ=PM/RT. Plus l'air est comprimé, plus il est dense.
3. Mathématiques : l'équation et sa solution
4 min
En remplaçant : $P^{'} = - \frac{M g}{R T} P$ P'=-Mg/RTP. Si l'on suppose $T$ T constante (atmosphère isotherme), c'est $y^{'} = a y$ y'=ay avec $a = - \frac{1}{H}$ a=-1/H et $H = \frac{R T}{M g}$ H=RT/Mg. Donc $P (z) = P_{0} e^{- z / H}$ P(z)=P₀e^(-z/H).
Avec $R = 8, 314$ R=8,314, $T = 288$ T=288 K, $M = 0, 029$ M=0,029 kg/mol et $g = 9, 81$ g=9,81 : $H \approx 8, 4$ H≈8,4 km, qu'on arrondit à $8$ 8 km. Au sommet du Mont-Blanc ( $4800$ 4 800 m) : $e^{- 0, 6} \approx 0, 55$ e^(-0,6)≈0,55. À l'Everest ( $8849$ 8 849 m) : $e^{- 1, 1} \approx 0, 33$ e^(-1,1)≈0,33, un tiers de la pression au niveau de la mer, donc un tiers de l'oxygène inspiré à chaque respiration.
La pression est divisée par 2 tous les $H ln 2 \approx 5, 6$ Hln2≈5,6 km : c'est la « demi-vie » de l'atmosphère. Le modèle isotherme est approximatif, car la température baisse d'environ 6,5 °C par kilomètre dans la troposphère, mais il donne le bon ordre de grandeur.
4. Conclusion
2 min
La pression diminue exponentiellement avec l'altitude parce que la perte de pression est proportionnelle à la densité de l'air, elle-même proportionnelle à la pression : $P^{'} = - \frac{P}{H}$ P'=-P/H. Elle est divisée par 2 environ tous les 5,6 km. J'ouvre sur les avions, pressurisés à l'équivalent de 2 000 m d'altitude.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P^{'} (z) = - ρ g, ρ = \frac{P M}{R T} \Rightarrow P^{'} = - \frac{P}{H}, H = \frac{R T}{M g} \approx 8 km P'(z)=-ρ g, ρ=PM/RT \Rightarrow P'=-P/H, H=RT/Mg\approx8 km P (z) = P_{0} e^{- z / H} Everest : e^{- 8, 85/8} \approx e^{- 1, 1} \approx 0, 33 P(z)=P₀ e^(-z/H) Everest : e^(-8,85/8)\approx e^(-1,1)\approx0,33 z_{1/2} = H ln 2 \approx 5, 6 km z_1/2=Hln2\approx5,6 km

Conclusion : la réponse à la question

La pression atmosphérique suit $P_{0} e^{- z / H}$ P₀e^(-z/H), avec $H \approx 8$ H≈8 km : elle est divisée par 2 environ tous les 5,6 km et ne vaut plus qu'un tiers au sommet de l'Everest. L'exponentielle naît de la compressibilité de l'air : plus il est comprimé, plus il pèse.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la pression varie-t-elle de façon affine dans l'eau ?

L'eau est presque incompressible : $ρ$ ρ est constante, donc $P^{'} = - ρ g$ P'=-ρ g s'intègre en une fonction affine (1 bar tous les 10 m).

Vérifiez l'unité de H = RT/(Mg).

$\frac{J/mol}{kg/mol \times m/s ^{2}} = \frac{kg\cdotm ^{2} /s ^{2}}{kg\cdotm/s ^{2}} = m$ (J/mol)/(kg/mol × m/s ²)=(kg·m ² /s ²)/(kg·m/s ²)= m.

Pourquoi le paquet de chips gonfle-t-il ?

La pression extérieure diminue alors que l'air du paquet garde sa quantité : il se dilate jusqu'à équilibrer les pressions.

À quelle altitude la pression est-elle de 10 % de sa valeur au sol ?

$z = H ln 10 \approx 8 \times 2, 3 \approx 18$ z=Hln10≈8×2,3≈18 km.

Que change une température qui diminue avec l'altitude ?

H diminue avec T : la pression décroît un peu plus vite en altitude que dans le modèle isotherme.

Les pièges qui coûtent des points

Appliquer la variation affine de l'eau à l'air.
Oublier que la masse volumique de l'air dépend de la pression.
Confondre altitude et pression dans la lecture d'une exponentielle décroissante.

Revoir les notions

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