Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Comment simuler la décroissance radioactive avec des dés et un programme Python ?

Q: Écrivez la boucle Python d'un lancer.

restants = sum(1 for ᵢn range(restants) if random.randint(1, 6) != 6), répété dans une boucle for sur les lancers.

Q: Quelle loi suit le nombre de dés restants après un lancer ?

La loi binomiale $mathcal B(N,5/6)$, d'espérance $5/6N$.

Si chaque dé « se désintègre » quand il tombe sur 6, il en reste N₀(5/6)ⁿ après n lancers : une suite géométrique dont la demi-vie vaut ln 2/ln(6/5) ≈ 3,8 lancers, que la simulation Python retrouve.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En seconde, notre professeur de physique nous a fait lancer cent dés, en retirant à chaque fois ceux qui tombaient sur 6. Le tas diminuait vite puis lentement, comme dans les courbes de radioactivité. J'ai voulu reproduire cette expérience en Python avec des milliers de dés et calculer, avec les suites et les logarithmes, la « demi-vie » des dés.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une décroissance par une suite géométrique, la simuler en Python et comparer simulation et modèle.

Mathématiques

Suites géométriques (première)
Simulation d'expériences aléatoires en Python (seconde, première)
Logarithme, résolution de qⁿ = 1/2 (terminale)

Physique-chimie

Caractère aléatoire de la désintégration, demi-vie (terminale)
Modélisation d'un phénomène, écart entre mesure et modèle (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On lance $N_{0}$ N₀ dés ; ceux qui tombent sur 6 sont retirés (ils se « désintègrent »), et on relance les autres. Problématique : ce jeu reproduit-il la radioactivité, et peut-on en calculer la demi-vie ?
2. Le modèle : une suite géométrique
3 min
À chaque lancer, un dé survit avec la probabilité $\frac{5}{6}$ 5/6. En moyenne, $N_{n + 1} = \frac{5}{6} N_{n}$ Nₙ₊₁=5/6Nₙ, donc $N_{n} = N_{0} (\frac{5}{6})^{n}$ Nₙ=N₀(5/6)ⁿ : une suite géométrique de raison $\frac{5}{6}$ 5/6. Avec $100$ 100 dés, il en reste en moyenne $83$ 83, $69$ 69, $58$ 58, $48$ 48 après 1, 2, 3, 4 lancers.
Chaque dé, comme chaque noyau, se « désintègre » au hasard, sans mémoire, indépendamment des autres. Le lancer joue le rôle de l'unité de temps.
3. Demi-vie et simulation
4 min
La demi-vie $n_{1/2}$ n_1/2 vérifie $(\frac{5}{6})^{n} = \frac{1}{2}$ (5/6)ⁿ=1/2, soit $n_{1/2} = \frac{l n 2}{l n ( 6/5 )} \approx 3, 8$ n_1/2=ln2/(ln(6/5))≈3,8 lancers. On a l'équivalent d'une constante radioactive $λ = ln \frac{6}{5} \approx 0, 18$ λ=ln6/5≈0,18 par lancer : $N_{n} = N_{0} e^{- λn}$ Nₙ=N₀e^(-λ n).
En Python, une liste ou un compteur suffit : pour chaque lancer, on parcourt les dés restants et on tire randint(1, 6) ; on garde ceux qui ne donnent pas 6. Avec $10000$ 10 000 dés, la courbe simulée colle à la courbe théorique ; avec $20$ 20 dés, elle s'en écarte nettement, et c'est intéressant : on voit les fluctuations prédites par la loi binomiale.
On peut aussi changer la « désintégration » (« 5 ou 6 », probabilité $\frac{1}{3}$ 1/3) : la demi-vie devient $\frac{l n 2}{l n ( 3/2 )} \approx 1, 7$ ln2/(ln(3/2))≈1,7 lancer. Plus la probabilité est grande, plus la demi-vie est courte, comme pour les noyaux.
4. Conclusion
2 min
Les dés reproduisent la radioactivité parce qu'ils obéissent au même modèle : une probabilité fixe de disparition à chaque étape, indépendante du passé. La suite géométrique $N_{0} (\frac{5}{6})^{n}$ N₀(5/6)ⁿ donne une demi-vie de 3,8 lancers, que la simulation confirme pour un grand nombre de dés. J'ouvre sur les simulations de Monte-Carlo utilisées en physique nucléaire.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N_{n + 1} = \frac{5}{6} N_{n} \Rightarrow N_{n} = N_{0} (\frac{5}{6})^{n} = N_{0} e^{- n l n (6/5)} Nₙ₊₁=5/6 Nₙ \Rightarrow Nₙ=N₀(5/6)ⁿ=N₀ e^(-nln(6/5)) (\frac{5}{6})^{n_{1/2}} = \frac{1}{2} ⟺ n_{1/2} = \frac{ln 2}{ln ( 6/5 )} \approx 3, 8 (5/6)^(n_1/2)=1/2\Leftrightarrow n_1/2=ln2/(ln(6/5))\approx3,8 100 \to 83 \to 69 \to 58 \to 48 100\to83\to69\to58\to48

Conclusion : la réponse à la question

Une population de dés dont on retire les 6 décroît comme une population de noyaux : en moyenne d'un facteur $\frac{5}{6}$ 5/6 par lancer, avec une demi-vie de 3,8 lancers. La simulation en Python montre à la fois la loi moyenne et les fluctuations des petits échantillons.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Écrivez la boucle Python d'un lancer.

restants = sum(1 for _ in range(restants) if random.randint(1, 6) != 6), répété dans une boucle for sur les lancers.

Pourquoi la demi-vie est-elle un nombre non entier ?

C'est une valeur moyenne issue du modèle continu ; on ne fait pas 3,8 lancers, mais la moitié est atteinte entre le 3ᵉ et le 4ᵉ.

Avec 1 000 dés, combien en reste-t-il en moyenne après 10 lancers ?

$1000 \times (\frac{5}{6})^{10} \approx 162$ 1 000×(5/6)¹⁰≈162.

Quelle loi suit le nombre de dés restants après un lancer ?

La loi binomiale $B (N, \frac{5}{6})$ mathcal B(N,5/6), d'espérance $\frac{5}{6} N$ 5/6N.

En quoi le modèle diffère-t-il de la radioactivité ?

Le temps est discret (des lancers) au lieu d'être continu ; et les noyaux sont bien plus nombreux, donc les fluctuations bien plus faibles.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la demi-vie des dés vaut 3 lancers parce que 6 / 2 = 3.
Comparer une simulation de 20 dés à la courbe théorique et conclure que le modèle est faux.
Oublier de ne relancer que les dés restants.

Revoir les notions

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