Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Pourquoi utilise-t-on en médecine des éléments radioactifs à demi-vie courte ?

Q: Montrez que e⁽−λt) = 2⁽−t/t½).

$λ=ln2/(t_1/2)$, donc $e^(-λ t)=e^(-t/(t_1/2)ln2)=2^(-t/t_1/2)$.

Q: Que vaut 2⁽−3,75) approximativement ?

$2⁻³×2^(-0,75)≈0,125×0,59≈0,074$.

Le technétium 99m (6 h) ou l'iode 131 (8 jours) s'éliminent vite : l'activité est divisée par 16 en 24 h pour le premier, par 2¹⁰ ≈ 1 000 en 80 jours pour le second ; l'activité A = λN est d'autant plus forte que la demi-vie est courte.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Ma grand-mère a passé une scintigraphie : on lui a injecté un produit radioactif, et on lui a dit qu'il disparaîtrait en quelques jours. J'ai été surpris qu'on injecte volontairement de la radioactivité. J'ai voulu comprendre pourquoi le choix de la demi-vie est crucial : assez courte pour protéger le patient, assez longue pour faire l'examen.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la loi de décroissance et la relation activité-nombre de noyaux pour justifier un choix médical.

Mathématiques

Suites géométriques, puissances de 2 (première)
Fonction exponentielle et logarithme (terminale)
Approximation $2^{10} \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰≈10³ (seconde)

Physique-chimie

Activité A = λN, becquerel (terminale)
Demi-vie, décroissance radioactive (terminale)
Applications médicales de la radioactivité (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
En scintigraphie, on injecte un traceur radioactif dont le rayonnement est détecté par une caméra. Problématique : quelle demi-vie choisir, et pourquoi doit-elle être courte ?
2. Physique : l'activité
3 min
L'activité $A$ A, en becquerels, est le nombre de désintégrations par seconde : $A = - N^{'} (t) = λ N (t)$ A=-N'(t)=λ N(t). Elle décroît comme $N$ N : $A (t) = A_{0} e^{- λ t}$ A(t)=A₀e^(-λ t).
Pour un même nombre de noyaux, l'activité est inversement proportionnelle à la demi-vie : $A = \frac{l n 2}{t _{1/2}} N$ A=ln2/(t_1/2)N. Une demi-vie courte donne un signal fort avec peu de matière, puis une disparition rapide. Une demi-vie longue donnerait un signal faible et une irradiation qui durerait.
3. Mathématiques : la décroissance en puissances de 2
4 min
Après $n$ n demi-vies, l'activité est divisée par $2^{n}$ 2ⁿ. Le technétium 99m ( $t_{1/2} = 6$ t_1/2=6 h) : en 24 h, soit 4 demi-vies, l'activité est divisée par $2^{4} = 16$ 2⁴=16. Il reste $6, 25$ 6,25 % : l'examen se fait dans les heures qui suivent, et deux jours plus tard il ne reste presque rien.
L'iode 131 ( $t_{1/2} = 8$ t_1/2=8 jours), utilisé pour soigner la thyroïde : en 80 jours, 10 demi-vies, l'activité est divisée par $2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰=1 024≈10³. Pour un temps quelconque, $\frac{A}{A _{0}} = 2^{- t / t_{1/2}}$ A/A₀=2^(-t/t_1/2) ; en 30 jours, $2^{- 3, 75} \approx 7, 4$ 2^(-3,75)≈7,4 %.
À l'inverse, un traceur de demi-vie trop courte (quelques minutes) disparaîtrait pendant le transport depuis le lieu de production : le technétium est fabriqué sur place à partir d'un noyau père de demi-vie 66 h.
4. Conclusion
2 min
On choisit des demi-vies courtes parce que l'activité, donc le signal, est forte pour peu de noyaux, et que la dose reçue diminue très vite : divisée par 16 en une journée pour le technétium. La demi-vie doit cependant laisser le temps de préparer et de réaliser l'examen. J'ouvre sur la protonthérapie, qui soigne sans traceur radioactif.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A = λ N = \frac{ln 2}{t _{1/2}} N A (t) = A_{0} 2^{- t / t_{1/2}} A=λ N=ln2/(t_1/2) N A(t)=A₀ 2^(-t/t_1/2) Tc 99m : 24 h = 4 t_{1/2} \Rightarrow \frac{A}{A _{0}} = \frac{1}{16} Tc 99m : 24 h =4 t_1/2 \Rightarrow A/A₀=1/16 I 131 : 80 j = 10 t_{1/2} \Rightarrow \frac{A}{A _{0}} = \frac{1}{1 024} \approx 1 0^{- 3} I 131 : 80 j =10 t_1/2 \Rightarrow A/A₀=1/(1 024)\approx10⁻³

Conclusion : la réponse à la question

La médecine nucléaire utilise des demi-vies courtes pour obtenir un signal intense avec peu de matière et limiter la durée d'irradiation : l'activité est divisée par $2^{n}$ 2ⁿ après $n$ n demi-vies. Le choix est un compromis entre la sécurité du patient et le temps nécessaire à l'examen.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Montrez que e^(−λt) = 2^(−t/t½).

$λ = \frac{l n 2}{t _{1/2}}$ λ=ln2/(t_1/2), donc $e^{- λ t} = e^{- \frac{t}{t _{1/2}} l n 2} = 2^{- t / t_{1/2}}$ e^(-λ t)=e^(-t/(t_1/2)ln2)=2^(-t/t_1/2).

Que vaut 2^(−3,75) approximativement ?

$2^{- 3} \times 2^{- 0, 75} \approx 0, 125 \times 0, 59 \approx 0, 074$ 2⁻³×2^(-0,75)≈0,125×0,59≈0,074.

Qu'est-ce qu'un becquerel ?

Une désintégration par seconde.

Pourquoi l'iode se fixe-t-il sur la thyroïde ?

La thyroïde utilise l'iode pour fabriquer ses hormones : elle ne distingue pas l'iode radioactif de l'iode stable.

La quantité dans le corps diminue-t-elle seulement par désintégration ?

Non : l'organisme élimine aussi le produit (urines). La décroissance réelle est plus rapide, avec une « demi-vie effective » plus courte.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une demi-vie longue est plus sûre.
Oublier que l'activité dépend de λ et pas seulement de N.
Diviser par 2n au lieu de 2ⁿ.

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