Comment peut-on prévoir la décroissance d'un échantillon alors qu'on ne peut pas prévoir quand un noyau se désintégrera ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En physique, on m'a dit qu'il est impossible de savoir quand un noyau donné va se désintégrer, et dans la même heure on m'a donné une loi exponentielle très précise. Cela m'a paru contradictoire. C'est en terminale, avec la loi des grands nombres, que j'ai compris comment l'imprévisible à petite échelle devient prévisible à grande échelle.

L'enjeu et les notions du programme

Relier un modèle probabiliste individuel (loi binomiale) à une loi déterministe collective, grâce à l'espérance, la variance et l'inégalité de concentration.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un noyau radioactif peut se désintégrer dans une seconde ou dans un million d'années. Pourtant, la quantité restante dans un échantillon suit une loi précise. Problématique : comment le hasard individuel produit-il une loi collective ?

2. 2. Le modèle probabiliste

   3,5 min

   Chaque noyau, indépendamment des autres, survit à une durée $t$t avec une probabilité $p(t)$p(t). En découpant $t$t en $n$n petits intervalles où il se désintègre avec la probabilité $\frac{\lambda t}{n}$(λ t)/n, il survit avec la probabilité ${\left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)}^n$(1-(λ t)/n)ⁿ, qui tend vers $e^{-\lambda t}$e^(-λ t).

   Le nombre $X$X de noyaux survivants parmi $N$N suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(N,p)$mathcal B(N,p) avec $p=e^{-\lambda t}$p=e^(-λ t). Son espérance est $Np=N{e}^{-\lambda t}$Np=Ne^(-λ t) : c'est la loi de décroissance. Sa variance vaut $Np(1-p)$Np(1-p), son écart type au plus $\frac{\sqrt{N}}{2}$( √N )/2.

3. 3. La concentration

   3,5 min

   L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la proportion $F=\frac{X}{N}$F=X/N donne : $P\left(|F-p|\ge \delta \right)\le \frac{p(1-p)}{N{\delta }^2}\le \frac{1}{4N{\delta }^2}$P(|F-p|≥δ)≤(p(1-p))/Nδ²≤1/4Nδ².

   Avec $N=100$N=100 noyaux et $\delta =0,1$δ=0,1 : la majoration vaut $0,25$0,25, la proportion peut s'écarter notablement. Avec $N=10^6$N=10⁶ et $\delta =0,01$δ=0,01 : $0,0025$0,002 5. Or un microgramme de matière contient de l'ordre de $10^{15}$10¹⁵ noyaux : l'écart relatif, de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{N}}$1/( √N ), est alors de $3\times 10^{-8}$3×10⁻⁸, invisible. La loi exponentielle est une loi des grands nombres.

   Pour quelques noyaux, au contraire, on observe des fluctuations : un compteur Geiger devant une source faible crépite irrégulièrement.

4. 4. Conclusion

   2 min

   On prévoit la décroissance d'un échantillon parce qu'il contient un nombre immense de noyaux : la proportion restante se concentre autour de son espérance $e^{-\lambda t}$e^(-λ t), avec des fluctuations en $\frac{1}{\sqrt{N}}$1/( √N ). Le hasard individuel devient une loi collective. J'ouvre sur les assurances et les sondages, qui reposent sur le même principe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Dire que la loi exponentielle prévoit le moment de désintégration d'un noyau.
• Oublier l'hypothèse d'indépendance.
• Confondre écart type absolu et écart relatif.

Revoir les notions

• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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