Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Comment le carbone 14 permet-il de dater un objet ancien ?

Q: S'il reste 10 %, quel âge ?

$t=5 730×ln10/ln2≈19 000$ ans.

Q: Pourquoi λ est-elle exprimée en an⁻¹ ?

$λ t$ doit être sans dimension dans $e^(-λ t)$ : si $t$ est en années, $λ$ est en an⁻¹.

Q: Une erreur de 1 % sur N/N₀ donne quelle erreur sur l'âge ?

$Δ t≈frac1λ×(Δ(N/N₀))/(N/N₀)≈8 270×0,01≈80$ ans si l'erreur est relative.

Un être vivant cesse d'absorber du carbone 14 à sa mort ; la proportion restante donne l'âge par t = (t½/ln 2) ln(N₀/N) : 25 % restants correspondent à 11 460 ans, 30 % à environ 9 950 ans.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au musée, une étiquette indiquait qu'un fragment d'os avait été daté « par le carbone 14 » à environ 10 000 ans. Je me suis demandé comment on pouvait connaître un âge aussi lointain sans aucun document. J'ai découvert que la réponse se trouve dans une équation exponentielle que l'on résout avec le logarithme.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une équation exponentielle par le logarithme pour dater un échantillon, et discuter les hypothèses et les limites de la méthode.

Mathématiques

Fonction exponentielle, logarithme népérien (terminale)
Résolution d'équations exponentielles (terminale)
Suites géométriques (première)

Physique-chimie

Décroissance radioactive, demi-vie (terminale)
Datation radioactive (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Le carbone 14 est radioactif, de demi-vie $5730$ 5 730 ans. Il est produit en permanence dans l'atmosphère. Problématique : comment la mesure de sa quantité dans un os donne-t-elle son âge ?
2. Physique : une horloge qui démarre à la mort
3 min
Tant qu'il vit, un organisme échange du carbone avec l'atmosphère (respiration, alimentation) : sa proportion de carbone 14 reste égale à celle de l'air. À sa mort, les échanges cessent et le carbone 14 n'est plus renouvelé : il décroît selon $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ N(t)=N₀e^(-λ t), avec $λ = \frac{l n 2}{5 730}$ λ=ln2/(5 730) an⁻¹.
On mesure l'activité actuelle de l'échantillon et on la compare à celle d'un organisme vivant : le rapport $\frac{N}{N _{0}}$ N/N₀ est connu.
3. Mathématiques : inverser l'exponentielle
4 min
De $\frac{N}{N _{0}} = e^{- λ t}$ N/N₀=e^(-λ t), on tire $- λ t = ln \frac{N}{N _{0}}$ -λ t=lnN/N₀, soit $t = \frac{1}{λ} ln \frac{N _{0}}{N} = \frac{t _{1/2}}{l n 2} ln \frac{N _{0}}{N}$ t=frac1λlnN₀/N=(t_1/2)/ln2lnN₀/N.
Cas simples : s'il reste 50 %, $t = t_{1/2} = 5730$ t=t_1/2=5 730 ans ; 25 %, $t = 2 t_{1/2} = 11460$ t=2t_1/2=11 460 ans (car $ln 4 = 2 ln 2$ ln4=2ln2). Cas général : s'il reste 30 %, $t = 5730 \times \frac{l n ( 10/3 )}{l n 2} \approx 9950$ t=5 730×(ln(10/3))/ln2≈9 950 ans.
Limite : au-delà d'environ $50000$ 50 000 ans (moins de 0,3 % restant), il reste trop peu de carbone 14 pour une mesure fiable. Et la méthode suppose que la proportion atmosphérique était la même autrefois : on corrige grâce aux cernes des arbres, qui donnent une date exacte pour chaque année.
4. Conclusion
2 min
Le carbone 14 date un objet ancien parce qu'il décroît exponentiellement à partir de la mort de l'organisme : le logarithme transforme la proportion restante en âge. La méthode vaut jusqu'à environ 50 000 ans et repose sur des hypothèses que l'on contrôle. J'ouvre sur les roches, datées avec des noyaux de demi-vie beaucoup plus longue.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{N}{N _{0}} = e^{- λ t} ⟺ t = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln \frac{N _{0}}{N} N/N₀=e^(-λ t)\Leftrightarrow t=(t_1/2)/(ln 2) lnN₀/N \frac{N}{N _{0}} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 2 t_{1/2} = 11460 ans N/N₀=1/4 \Rightarrow t=2 t_1/2=11 460 ans \frac{N}{N _{0}} = 0, 30 \Rightarrow t = 5730 \times \frac{ln ( 10/3 )}{ln 2} \approx 9950 ans N/N₀=0,30 \Rightarrow t=5 730\times(ln(10/3))/ln2\approx9 950 ans

Conclusion : la réponse à la question

On date un objet au carbone 14 en mesurant la proportion restante et en inversant la loi exponentielle avec le logarithme : $t = \frac{t _{1/2}}{l n 2} ln \frac{N _{0}}{N}$ t=(t_1/2)/ln2lnN₀/N. La méthode est fiable jusqu'à quelques dizaines de milliers d'années, après correction de la teneur atmosphérique passée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Peut-on dater un dinosaure au carbone 14 ?

Non : 66 millions d'années représentent plus de 11 000 demi-vies, il ne reste plus rien de mesurable. On date les roches qui l'entourent.

Peut-on dater une pierre taillée ?

Pas directement : la pierre n'a jamais vécu. On date les restes organiques (charbon, os) trouvés avec elle.

S'il reste 10 %, quel âge ?

$t = 5730 \times \frac{l n 10}{l n 2} \approx 19000$ t=5 730×ln10/ln2≈19 000 ans.

Pourquoi λ est-elle exprimée en an⁻¹ ?

$λ t$ λ t doit être sans dimension dans $e^{- λ t}$ e^(-λ t) : si $t$ t est en années, $λ$ λ est en an⁻¹.

Une erreur de 1 % sur N/N₀ donne quelle erreur sur l'âge ?

$Δ t \approx \frac{1}{λ} \times \frac{Δ ( N / N _{0} )}{N / N _{0}} \approx 8270 \times 0, 01 \approx 80$ Δ t≈frac1λ×(Δ(N/N₀))/(N/N₀)≈8 270×0,01≈80 ans si l'erreur est relative.

Pourquoi les essais nucléaires ont-ils perturbé la méthode ?

Ils ont presque doublé le carbone 14 atmosphérique dans les années 1960 : les objets récents ne se datent pas avec la même référence.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $t = λ ln \frac{N}{N _{0}}$ t=λlnN/N₀ (inversion ou signe faux).
Utiliser la méthode au-delà de 50 000 ans.
Dater un objet qui n'a jamais été vivant.

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