Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Pourquoi la demi-vie d'un élément radioactif ne dépend-elle pas de la quantité de départ ?

Q: Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Que vaut λ ?

$λ=ln2/(5 730)≈1,21×10⁻⁴$ an⁻¹.

Q: Combien de demi-vies pour qu'il reste moins de 1 % ?

$2ⁿ>100$ : $n=7$ ($2⁷=128$).

Q: Vérifiez que N₀e⁽−λt) est solution de N' = −λN.

Sa dérivée vaut $-λ N₀e^(-λ t)=-λ N(t)$.

La loi N' = −λN donne N(t) = N₀e^(−λt) ; le rapport N(t + T)/N(t) = e^(−λT) ne dépend ni de t ni de N₀, d'où une demi-vie unique t½ = ln 2/λ, que l'échantillon soit énorme ou minuscule.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand j'ai appris que la moitié d'un échantillon de carbone 14 se désintègre en 5 730 ans, j'ai trouvé étrange que la durée soit la même pour un gramme ou pour une tonne, et aussi pour la moitié restante. Pour une bougie, la deuxième moitié brûle aussi vite que la première, mais une bougie deux fois plus grande dure deux fois plus longtemps. J'ai voulu comprendre ce qui rend la décroissance radioactive si différente.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une loi physique de proportionnalité à l'équation y' = ay et à la propriété caractéristique de l'exponentielle.

Mathématiques

Équation différentielle y' = ay (terminale)
Propriété $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ e^(a+b)=e^(a)e^(b) (première)
Logarithme népérien, résolution de e^x = k (terminale)

Physique-chimie

Décroissance radioactive, constante radioactive λ (terminale)
Demi-vie, activité (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On appelle demi-vie la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon s'est désintégrée. Problématique : pourquoi est-elle la même quel que soit l'échantillon et quel que soit l'instant de départ ?
2. Physique : une loi de proportionnalité
3 min
Chaque noyau a, pendant une courte durée $Δ t$ Δ t, la même probabilité $λ Δ t$ λΔ t de se désintégrer, quel que soit son âge et indépendamment des autres. Sur $N$ N noyaux, il en disparaît en moyenne $λ N Δ t$ λ NΔ t. En passant à la limite : $N^{'} (t) = - λ N (t)$ N'(t)=-λ N(t).
La vitesse de disparition est proportionnelle au nombre de noyaux présents : plus il y en a, plus il en disparaît. C'est la différence avec la bougie, qui brûle à vitesse constante.
3. Mathématiques : la propriété de l'exponentielle
4 min
Les solutions de $y^{'} = - λ y$ y'=-λ y sont $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ N(t)=N₀e^(-λ t). Pour une durée $T$ T quelconque : $\frac{N ( t + T )}{N ( t )} = \frac{N _{0} e ^{- λ t} e ^{- λ T}}{N _{0} e ^{- λ t}} = e^{- λ T}$ (N(t+T))/N(t)=(N₀e^(-λ t)e^(-λ T))/(N₀e^(-λ t))=e^(-λ T). Ce rapport ne dépend ni de $t$ t, ni de $N_{0}$ N₀.
La demi-vie est la durée $T$ T telle que ce rapport vaut $\frac{1}{2}$ 1/2 : $e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2}$ e^(-λ t_1/2)=1/2, soit $t_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$ t_1/2=ln2/λ. Après $n$ n demi-vies, il reste $\frac{N _{0}}{2 ^{n}}$ N₀/2ⁿ : une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ 1/2.
Inversement, seule l'exponentielle a cette propriété : si une fonction $f$ f continue et positive vérifie $f (t + T) = f (t) f (T) / f (0)$ f(t+T)=f(t) f(T)/f(0) pour tous $t, T$ t,T, elle est exponentielle. La demi-vie constante est donc la signature de la loi $N^{'} = - λ N$ N'=-λ N.
4. Conclusion
2 min
La demi-vie ne dépend pas de la quantité de départ parce que la décroissance est proportionnelle au nombre de noyaux : la loi exponentielle multiplie la quantité par $\frac{1}{2}$ 1/2 tous les $t_{1/2}$ t_1/2, quel que soit le point de départ. J'ouvre sur la datation, qui exploite exactement cette régularité.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

N^{'} (t) = - λ N (t) \Rightarrow N (t) = N_{0} e^{- λ t} N'(t)=-λ N(t) \Rightarrow N(t)=N₀ e^(-λ t) \frac{N ( t + T )}{N ( t )} = e^{- λ T} e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2} ⟺ t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} (N(t+T))/N(t)=e^(-λ T) e^(-λ t_1/2)=1/2\Leftrightarrow t_1/2=(ln 2)/λ N (n t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2 ^{n}} N(n t_1/2)=N₀/2ⁿ

Conclusion : la réponse à la question

La demi-vie est constante parce que chaque noyau se désintègre au hasard, avec une probabilité qui ne dépend ni de son âge ni des autres : la quantité suit $N_{0} e^{- λ t}$ N₀e^(-λ t), et l'exponentielle transforme des durées égales en facteurs multiplicatifs égaux.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Que vaut λ ?

$λ = \frac{l n 2}{5 730} \approx 1, 21 \times 1 0^{- 4}$ λ=ln2/(5 730)≈1,21×10⁻⁴ an⁻¹.

Au bout de deux demi-vies, reste-t-il zéro noyau ?

Non, un quart : la moitié de la moitié. L'erreur courante est de penser que deux moitiés font le tout.

Un noyau « vieux » a-t-il plus de chances de se désintégrer ?

Non : sa probabilité ne dépend pas de son âge. C'est la propriété « sans mémoire ».

Peut-on accélérer la décroissance en chauffant l'échantillon ?

Non : λ ne dépend pas des conditions chimiques ni de la température, ce qui fait la fiabilité de la datation.

Combien de demi-vies pour qu'il reste moins de 1 % ?

$2^{n} > 100$ 2ⁿ>100 : $n = 7$ n=7 ( $2^{7} = 128$ 2⁷=128).

Vérifiez que N₀e^(−λt) est solution de N' = −λN.

Sa dérivée vaut $- λ N_{0} e^{- λ t} = - λ N (t)$ -λ N₀e^(-λ t)=-λ N(t).

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'après deux demi-vies tout a disparu.
Écrire $t_{1/2} = \frac{λ}{l n 2}$ t_1/2=fracλln2.
Confondre demi-vie et durée de vie d'un noyau.

Revoir les notions

Autres questions : radioactivité et datation

Toutes les questions maths-physique-chimie →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →