Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Pourquoi un violon et une flûte jouant la même note ne sonnent-ils pas pareil ?

Q: Pourquoi la somme garde-t-elle la période 1/f ?

$sin(2π kf(t+1/f))=sin(2π kft+2π k)=sin(2π kft)$ : chaque terme est $1/f$-périodique.

Un son périodique de fréquence f est une somme de sinusoïdes de fréquences f, 2f, 3f… dont les amplitudes font le timbre ; un signal carré s'obtient avec les harmoniques impairs (4/π)(sin x + sin 3x/3 + …), et la valeur en π/2 donne 1 − 1/3 + 1/5 − … = π/4.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au conservatoire, j'ai remarqué qu'on reconnaît un instrument dès la première note, même jouée à la même hauteur et au même volume qu'un autre. En physique, j'ai vu les spectres des sons : des pics régulièrement espacés. J'ai voulu comprendre comment des sommes de sinusoïdes fabriquent n'importe quel son périodique, et j'ai découvert au passage une formule étonnante pour π.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre la décomposition d'un signal périodique en harmoniques et la convergence d'une somme de fonctions trigonométriques.

Mathématiques

Fonctions sinus et cosinus, périodes (première, terminale)
Sommes de termes, convergence d'une suite (terminale)
Algorithmique : calcul de sommes partielles en Python (première, terminale)

Physique-chimie

Signal sonore périodique, hauteur et timbre (seconde)
Spectre en fréquences, fondamental et harmoniques (seconde, première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Hauteur, intensité et timbre caractérisent un son. Deux instruments qui jouent un la à 440 Hz ont la même hauteur. Problématique : qu'est-ce qui distingue leurs sons, mathématiquement ?
2. Physique : fondamental et harmoniques
3 min
Un son périodique de fréquence $f$ f a un spectre formé de pics aux fréquences $f, 2 f, 3 f, \dots$ f,2f,3f,… : le fondamental et les harmoniques. La hauteur est donnée par $f$ f ; le timbre, par les amplitudes relatives des harmoniques. La flûte a un spectre pauvre, dominé par le fondamental ; le violon, très riche ; la clarinette favorise les harmoniques impairs.
Mathématiquement, le signal s'écrit $s (t) = \sum_{k} A_{k} sin (2 π k f t + φ_{k})$ s(t)=Σₖ Aₖsin(2π kft+φₖ) : chaque terme a une période $\frac{1}{k f}$ 1/kf qui divise $\frac{1}{f}$ 1/f, donc la somme garde la période $\frac{1}{f}$ 1/f.
3. Mathématiques : fabriquer un signal carré
4 min
Un signal carré qui vaut $1$ 1 sur $] 0; π [$ ]0;π[ et $- 1$ -1 sur $] π; 2 π [$ ]π;2π[ s'écrit, en harmoniques impairs : $\frac{4}{π} (sin x + \frac{s i n 3 x}{3} + \frac{s i n 5 x}{5} + \dots)$ frac4π(sin x+sin3x/3+sin5x/5+…). En Python, je trace les sommes partielles : avec 1, 2, 3 puis 10 termes, la courbe se rapproche du créneau.
En $x = \frac{π}{2}$ x=fracπ2, $sin (\frac{( 2 k + 1 ) π}{2}) = (- 1)^{k}$ sin(((2k+1)π)/2)=(-1)^(k). Les sommes partielles valent $1, 27$ 1,27, $0, 85$ 0,85, $1, 10$ 1,10… puis $0, 968$ 0,968 pour 10 termes et $0, 997$ 0,997 pour 100 : elles tendent vers 1. On en déduit $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$ 1-1/3+1/5-1/7+…=fracπ4, la formule de Leibniz. Elle converge lentement : l'écart après $n$ n termes est de l'ordre de $\frac{1}{n}$ 1/n.
4. Conclusion
2 min
Un violon et une flûte jouant la même note ont le même fondamental, mais pas les mêmes harmoniques : le timbre est la « recette » de la somme de sinusoïdes. Des sommes de fonctions trigonométriques reconstruisent même un signal carré. J'ouvre sur la compression MP3, qui ne garde que les harmoniques audibles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

s(t)=Σ_k≥1Aₖsin(2π kft+φₖ)carré (x)=frac4π(sin x+sin3x/3+sin5x/5+…)x=fracπ2: 1-1/3+1/5-1/7+…=fracπ4

Conclusion : la réponse à la question

Le timbre d'un instrument est la répartition de l'énergie entre ses harmoniques : deux sons de même fréquence fondamentale peuvent avoir des formes très différentes. La décomposition en sommes de sinusoïdes, que l'on vérifie en Python, relie la musique à une belle formule pour $π$ π.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la somme garde-t-elle la période 1/f ?

$sin (2 π k f (t + \frac{1}{f})) = sin (2 π k f t + 2 π k) = sin (2 π k f t)$ sin(2π kf(t+1/f))=sin(2π kft+2π k)=sin(2π kft) : chaque terme est $\frac{1}{f}$ 1/f-périodique.

Quelle est la fréquence du 3ᵉ harmonique d'un la à 440 Hz ?

1 320 Hz.

Pourquoi la flûte et le diapason se ressemblent-ils ?

Leurs sons sont proches d'une sinusoïde pure : le fondamental domine nettement les harmoniques.

Écrivez la boucle Python des sommes partielles en π/2.

s = 0 ; for k in range(n): s = s + (-1)**k / (2*k + 1) ; puis on affiche 4 * s / math.pi.

Les sommes partielles convergent-elles partout vers le carré ?

Partout sauf aux sauts, où elles valent 0 ; près des sauts subsiste un dépassement d'environ 9 % (phénomène de Gibbs).

Les pièges qui coûtent des points

Confondre hauteur (fréquence fondamentale) et timbre.
Croire qu'un son périodique contient des fréquences quelconques.
Annoncer une convergence rapide de la série de Leibniz.

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