Combien de salariés une entreprise a-t-elle intérêt à embaucher ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me suis demandé pourquoi un restaurant n'embauche pas indéfiniment de serveurs, alors que chacun apporte du travail. En SES, j'ai appris la notion de productivité marginale décroissante : le dixième serveur est moins utile que le premier. En mathématiques, c'est la concavité d'une fonction racine carrée, et la décision d'embauche se lit sur sa dérivée.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction concave, interpréter sa dérivée comme productivité marginale et résoudre une condition d'optimalité.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une entreprise produit $f(L)=10\sqrt{L}$f(L)=10 √L unités avec $L$L heures de travail, vend chaque unité 2 € et paie 1 € par heure (valeurs simplifiées). Problématique : combien d'heures de travail utiliser ?

2. 2. Mathématiques : rendements décroissants

   3,5 min

   La productivité marginale est la production apportée par une heure de plus : $f^{\prime }(L)=\frac{5}{\sqrt{L}}$f'(L)=5/( √L ). Elle diminue quand $L$L augmente : $f^{\prime \prime }(L)=-\frac{5}{2}{L}^{-3/2}<0$f''(L)=-5/2L^(-3/2)<0, $f$f est concave. Avec 4 heures, une heure de plus rapporte environ 2,5 unités ; avec 100 heures, 0,5.

   Le profit vaut $\pi (L)=2\times 10\sqrt{L}-L=20\sqrt{L}-L$π(L)=2×10 √L -L=20 √L -L. ${\pi }^{\prime }(L)=\frac{10}{\sqrt{L}}-1$π'(L)=10/( √L )-1 s'annule pour $\sqrt{L}=10$√L =10, soit $L=100$L=100. Avant, une heure rapporte plus qu'elle ne coûte ; après, moins. Le profit maximal vaut $200-100=100$200-100=100 €.

3. 3. SES : la demande de travail

   3,5 min

   La règle est générale : l'entreprise embauche jusqu'à ce que la valeur de la productivité marginale égale le salaire, $p{f}^{\prime }(L)=w$p f'(L)=w. Si le salaire augmente, il faut une productivité marginale plus élevée, donc moins d'heures : la demande de travail diminue avec le salaire. Avec $w=2$w=2, $\frac{10}{\sqrt{L}}=2$10/( √L )=2 donne $L=25$L=25.

   En SES, ce raisonnement néoclassique est discuté : il suppose une concurrence parfaite et une productivité mesurable individuellement. Les économistes keynésiens insistent sur le rôle de la demande : une entreprise n'embauche pas si elle ne vend pas, quel que soit le salaire. Le modèle éclaire un mécanisme, pas l'ensemble du marché du travail.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une entreprise a intérêt à embaucher tant que le dernier salarié rapporte plus qu'il ne coûte ; avec des rendements décroissants (fonction concave), cela fixe un niveau optimal, ici 100 heures. La dérivée de la fonction de production est la productivité marginale. J'ouvre sur les débats autour du salaire minimum et de l'emploi.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre productivité moyenne et productivité marginale.
• Oublier le prix de vente dans la condition d'embauche.
• Présenter le modèle comme l'unique explication du chômage.

Revoir les notions

• Dérivation et étude des fonctions (Première spé maths) →
• Compléments sur la dérivation (Terminale spé maths) →

Autres questions : production et coûts

• Pourquoi le coût moyen d'une entreprise est-il minimal quand il égale le coût marginal ?
• À partir de combien d'unités vendues une entreprise devient-elle rentable ?
• Pourquoi une entreprise continue-t-elle parfois à produire alors qu'elle perd de l'argent ?
• Pourquoi les grandes entreprises peuvent-elles produire moins cher que les petites ?

Toutes les questions maths-ses →