Pourquoi le coût moyen d'une entreprise est-il minimal quand il égale le coût marginal ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, on m'a montré deux courbes de coûts, une en U pour le coût moyen et une croissante pour le coût marginal, qui se croisent toujours au minimum de la première. Je trouvais cela trop régulier pour être une coïncidence. En mathématiques, j'ai démontré la propriété en dérivant un quotient : c'est une conséquence générale, valable pour toute fonction de coût.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction coût moyen (quotient) par sa dérivée et démontrer une propriété générale reliant coût moyen et coût marginal.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une entreprise a un coût total $C(q)=q^2+10q+400$C(q)=q²+10q+400 (en euros, $q$q en unités) : 400 de coûts fixes et des coûts variables croissants. Problématique : pour quelle production chaque unité coûte-t-elle le moins cher en moyenne ?

2. 2. SES : coût moyen et coût marginal

   3 min

   Le coût moyen est le coût par unité : $CM(q)=\frac{C(q)}{q}=q+10+\frac{400}{q}$CM(q)=C(q)/q=q+10+400/q. Le coût marginal est le coût d'une unité supplémentaire : $Cm(q)=C^{\prime }(q)=2q+10$Cm(q)=C'(q)=2q+10.

   Au début, le coût fixe est réparti sur peu d'unités : le coût moyen est élevé ($CM(10)=60$CM(10)=60). Il baisse avec la production, puis remonte quand les coûts variables croissants l'emportent ($CM(40)=60$CM(40)=60) : la courbe est en U.

3. 3. Mathématiques : le minimum

   4 min

   $C{M}^{\prime }(q)=1-\frac{400}{q^2}$CM'(q)=1-400/q² s'annule pour $q^2=400$q²=400, soit $q=20$q=20 ; elle est négative avant, positive après. Le coût moyen minimal vaut $CM(20)=20+10+20=50$CM(20)=20+10+20=50, et le coût marginal vaut aussi $Cm(20)=50$Cm(20)=50.

   Propriété générale : $C{M}^{\prime }(q)=\frac{C^{\prime }(q)q-C(q)}{q^2}=\frac{1}{q}(Cm(q)-CM(q))$CM'(q)=(C'(q)q-C(q))/q²=1/q(Cm(q)-CM(q)). Le coût moyen baisse tant que le coût marginal lui est inférieur, augmente quand il lui est supérieur, et il est minimal quand ils sont égaux.

   Intuition : comme une moyenne de notes, qui baisse si l'on ajoute une note inférieure à la moyenne et monte sinon. La courbe du coût marginal coupe donc toujours celle du coût moyen en son minimum.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Le coût moyen est minimal là où il égale le coût marginal, parce que sa dérivée vaut $\frac{1}{q}(Cm-CM)$1/q(Cm-CM). Ici, 20 unités à 50 € chacune. Ce point, le seuil de rentabilité, est le prix minimal auquel l'entreprise couvre tous ses coûts. J'ouvre sur la décision de production, qui compare le prix au coût marginal.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre coût moyen et coût marginal.
• Oublier le coût fixe dans le coût moyen.
• Croire que le minimum du coût moyen est le niveau de production qui maximise le profit.

Revoir les notions

• Dérivation et étude des fonctions (Première spé maths) →
• Variations et extremums (Première spé maths) →

Autres questions : production et coûts

• À partir de combien d'unités vendues une entreprise devient-elle rentable ?
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