À partir de combien d'unités vendues une entreprise devient-elle rentable ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami de ma famille a ouvert une boulangerie et m'a dit qu'il lui fallait vendre « au moins 300 baguettes par jour pour s'en sortir ». Je me suis demandé comment on calcule ce seuil. En SES, on parle de seuil de rentabilité ; en mathématiques, il s'agit des racines d'un trinôme et de l'étude de son signe.

L'enjeu et les notions du programme

Déterminer le signe d'un trinôme du second degré pour trouver une zone de rentabilité, et interpréter ses racines et son sommet.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   L'entreprise vend au prix de 60 € une production de coût $C(q)=q^2+10q+400$C(q)=q²+10q+400. Problématique : pour quelles quantités réalise-t-elle un profit, et laquelle le maximise ?

2. 2. Mathématiques : le signe du trinôme

   4 min

   Le profit vaut $\pi (q)=60q-C(q)=-q^2+50q-400$π(q)=60q-C(q)=-q²+50q-400. Discriminant : $\Delta =2500-1600=900=30^2$Δ=2 500-1 600=900=30². Racines : $q_1=\frac{-50+30}{-2}=10$q₁=(-50+30)/(-2)=10 et $q_2=\frac{-50-30}{-2}=40$q₂=(-50-30)/(-2)=40.

   Le coefficient de $q^2$q² étant négatif, le trinôme est positif entre ses racines : l'entreprise est rentable pour $10<q<40$10<q<40. Le maximum est au sommet, en $q=\frac{10+40}{2}=25$q=(10+40)/2=25, avec $\pi (25)=-625+1250-400=225$π(25)=-625+1 250-400=225 €.

   On vérifie : $\pi (10)=600-600=0$π(10)=600-600=0 et $\pi (40)=2400-2400=0$π(40)=2 400-2 400=0.

3. 3. SES : interpréter

   3 min

   Sous 10 unités, la recette ne couvre pas les 400 € de coûts fixes : c'est le seuil de rentabilité, ou point mort. Au-delà de 40, produire coûte trop cher (heures supplémentaires, saturation des machines). Entre les deux, l'entreprise gagne de l'argent.

   Le profit est maximal à 25 unités, là où le prix égale le coût marginal : $Cm(25)=2\times 25+10=60$Cm(25)=2×25+10=60. Produire une unité de plus coûterait plus qu'elle ne rapporte. Si le prix baissait à 50 €, la zone de rentabilité se réduirait à un seul point ($q=20$q=20) : c'est le prix minimal pour être rentable, égal au minimum du coût moyen.

4. 4. Conclusion

   2 min

   L'entreprise est rentable entre 10 et 40 unités, intervalle où le trinôme du profit est positif ; son profit est maximal à 25 unités, où le prix égale le coût marginal. Le seuil de rentabilité est la plus petite racine du trinôme. J'ouvre sur l'effet d'une hausse des coûts fixes, qui rétrécit la zone de rentabilité.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier les coûts fixes dans le profit.
• Se tromper de signe en divisant par −2.
• Confondre maximum du profit et seuil de rentabilité.

Revoir les notions

• Second degré (Première spé maths) →
• Polynômes de degré 2 et 3 (Première spé maths) →

Autres questions : production et coûts

• Pourquoi le coût moyen d'une entreprise est-il minimal quand il égale le coût marginal ?
• Pourquoi une entreprise continue-t-elle parfois à produire alors qu'elle perd de l'argent ?
• Pourquoi les grandes entreprises peuvent-elles produire moins cher que les petites ?
• Combien de salariés une entreprise a-t-elle intérêt à embaucher ?

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