Question transversaleMathsSESProduction et coûts

Comment une entreprise choisit-elle entre machines et salariés ?

Q: Pourquoi les deux dépenses sont-elles égales à l'optimum ?

$C'(L)=0$ donne $20L=500/L$, c'est-à-dire $wL=rK$.

Q: Que se passe-t-il si le coût du capital double ?

$K/L=20/10=2$, $L=√(50)≈7,1$ : plus de travail, moins de capital.

Q: Comment montrer que L = 5 est bien un minimum ?

$C''(L)=(1 000)/L³>0$ : la fonction est convexe sur $]0;+∞[$, son point critique est un minimum.

Pour produire Y = √(KL) = 10, il faut KL = 100 ; avec un salaire de 20 et un coût du capital de 5, le coût 20L + 500/L est minimal pour L = 5 et K = 20, soit 200. Si le salaire augmente, l'entreprise substitue des machines au travail.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai remarqué que les caisses automatiques se multiplient dans les supermarchés. En SES, on explique que les entreprises substituent du capital au travail quand le travail devient relativement cher. J'ai voulu modéliser ce choix : minimiser un coût sous la contrainte d'une production fixée revient à étudier une fonction de la forme $a x + \frac{b}{x}$ ax+b/x.

L'enjeu et les notions du programme

Ramener une optimisation sous contrainte à l'étude d'une fonction d'une variable et interpréter l'effet d'un changement de prix relatif.

Mathématiques

Fonctions $x \mapsto a x + \frac{b}{x}$ x↦ ax+b/x, dérivée, minimum (première)
Substitution d'une contrainte, racine carrée (seconde)

Sciences économiques et sociales

Combinaison productive, substituabilité des facteurs (première, terminale)
Coût relatif du travail et du capital, automatisation (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'entreprise veut produire $Y = 10$ Y=10 avec la technologie $Y = K L$ Y=√(KL) (capital $K$ K, travail $L$ L). Une unité de travail coûte $w = 20$ w=20, une unité de capital $r = 5$ r=5. Problématique : quelle combinaison coûte le moins cher ?
2. Mathématiques : minimiser sous contrainte
4 min
La contrainte $K L = 10$ √(KL)=10 donne $K L = 100$ KL=100, soit $K = \frac{100}{L}$ K=100/L. Le coût devient une fonction de $L$ L seul : $C (L) = 20 L + 5 \times \frac{100}{L} = 20 L + \frac{500}{L}$ C(L)=20L+5×100/L=20L+500/L.
$C^{'} (L) = 20 - \frac{500}{L ^{2}}$ C'(L)=20-500/L² s'annule pour $L^{2} = 25$ L²=25, soit $L = 5$ L=5, puis $K = 20$ K=20. C'est un minimum ( $C^{'}$ C' négative avant, positive après) : $C (5) = 100 + 100 = 200$ C(5)=100+100=200.
À l'optimum, les dépenses en travail et en capital sont égales (100 chacune), et $\frac{K}{L} = \frac{w}{r} = 4$ K/L=w/r=4 : l'entreprise utilise d'autant plus de capital par travailleur que le travail est cher par rapport au capital.
3. SES : substitution et automatisation
3 min
Si le salaire passe à 45 (le coût du capital restant 5), $\frac{K}{L} = 9$ K/L=9 et $K L = 100$ KL=100 donnent $L = \frac{10}{3} \approx 3, 3$ L=10/3≈3,3 et $K = 30$ K=30 : l'entreprise remplace des salariés par des machines. Inversement, une baisse du coût du travail (allègements de cotisations) favorise l'emploi.
En SES, on étudie ces choix de combinaison productive et leurs effets sur l'emploi. La substitution n'est pas toujours possible (certains métiers sont difficiles à automatiser), et l'automatisation crée aussi des emplois (conception, maintenance) : c'est le débat sur la « destruction créatrice » de Schumpeter.
4. Conclusion
2 min
L'entreprise choisit la combinaison qui minimise son coût pour une production donnée : ici 5 unités de travail et 20 de capital, pour un coût de 200. La proportion de capital augmente quand le travail devient relativement plus cher : c'est la substitution. J'ouvre sur l'effet de l'intelligence artificielle, qui modifie le coût de nombreuses tâches.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

K L = 10 ⟺ K = \frac{100}{L}, C (L) = 20 L + \frac{500}{L} \sqrt(KL)=10\Leftrightarrow K=100/L, C(L)=20L+500/L C^{'} (L) = 20 - \frac{500}{L ^{2}} = 0 ⟺ L = 5, K = 20, C = 200 C'(L)=20-500/L²=0\Leftrightarrow L=5, K=20, C=200 \frac{K}{L} = \frac{w}{r} : w = 45 \Rightarrow \frac{K}{L} = 9, L \approx 3, 3, K = 30 K/L=w/r: w=45RightarrowK/L=9, L\approx3,3, K=30

Conclusion : la réponse à la question

Minimiser le coût de production sous contrainte revient à étudier une fonction $a L + \frac{b}{L}$ aL+b/L ; à l'optimum, la proportion capital-travail égale le rapport des prix des facteurs. Quand le travail devient plus cher, l'entreprise le remplace par du capital.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les deux dépenses sont-elles égales à l'optimum ?

$C^{'} (L) = 0$ C'(L)=0 donne $20 L = \frac{500}{L}$ 20L=500/L, c'est-à-dire $w L = r K$ wL=rK.

Que se passe-t-il si le coût du capital double ?

$\frac{K}{L} = \frac{20}{10} = 2$ K/L=20/10=2, $L = 50 \approx 7, 1$ L=√(50)≈7,1 : plus de travail, moins de capital.

Qu'est-ce que la destruction créatrice ?

Selon Schumpeter, l'innovation détruit des activités et des emplois anciens tout en en créant de nouveaux.

Les facteurs sont-ils toujours substituables ?

Non : certaines productions exigent des proportions fixes (un chauffeur par camion, sauf automatisation).

Comment montrer que L = 5 est bien un minimum ?

$C^{''} (L) = \frac{1 000}{L ^{3}} > 0$ C''(L)=(1 000)/L³>0 : la fonction est convexe sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[, son point critique est un minimum.

Les allègements de cotisations sur les bas salaires agissent-ils par ce mécanisme ?

En partie : ils baissent le coût relatif du travail peu qualifié, ce qui freine sa substitution par du capital.

Vérifiez que √(20 × 5) = 10.

$100 = 10$ √(100)=10.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la contrainte de production.
Croire que l'entreprise choisit la combinaison avec le moins de salariés.
Ignorer les limites de la substitution.

Revoir les notions

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