Comment représenter graphiquement les inégalités de revenus ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, on m'a montré des courbes qui se creusent sous une diagonale pour comparer les inégalités entre pays. Je trouvais ces graphiques élégants, mais je ne comprenais pas pourquoi la courbe est toujours sous la diagonale ni pourquoi elle a toujours la même forme. En étudiant la convexité en mathématiques, j'ai compris que ces propriétés découlent de sa construction.

L'enjeu et les notions du programme

Construire une courbe à partir de fréquences cumulées et justifier ses propriétés (croissance, convexité, position par rapport à la diagonale).

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On range la population par revenu croissant et on la découpe en cinq quintiles. Ordres de grandeur pour la France (niveau de vie) : le premier quintile reçoit environ 8 % des revenus, puis 13 %, 17 %, 23 % et 39 %. Problématique : comment représenter cette répartition, et que dit la forme de la courbe ?

2. 2. Mathématiques : construction

   3,5 min

   On place en abscisse la part cumulée de la population (de la plus pauvre à la plus riche) et en ordonnée la part cumulée des revenus : points $(0;0)$(0;0), $(0,2;0,08)$(0,2;0,08), $(0,4;0,21)$(0,4;0,21), $(0,6;0,38)$(0,6;0,38), $(0,8;0,61)$(0,8;0,61), $(1;1)$(1;1).

   En égalité parfaite, chaque part de la population reçoit la même part des revenus : $L(x)=x$L(x)=x, la diagonale. Si une seule personne recevait tout, la courbe longerait l'axe des abscisses puis remonterait à la verticale en $x=1$x=1.

3. 3. Propriétés : pourquoi la courbe est convexe

   3,5 min

   $L$L est croissante, car on ajoute des revenus positifs. Elle est convexe : les pentes successives valent $\frac{0,08}{0,2}=0,4$0,08/0,2=0,4, puis $0,65$0,65, $0,85$0,85, $1,15$1,15, $1,95$1,95. Elles augmentent, parce que chaque tranche est plus riche que la précédente (la pente d'un segment est le revenu moyen de la tranche rapporté au revenu moyen général).

   Une fonction convexe qui vaut 0 en 0 et 1 en 1 est sous sa corde, la diagonale : $L(x)\le x$L(x)≤ x. Les 40 % les plus modestes ne reçoivent que 21 % des revenus. Plus l'aire entre la courbe et la diagonale est grande, plus les inégalités sont fortes : c'est le principe de l'indice de Gini.

4. 4. Conclusion

   2 min

   La courbe de Lorenz représente la part cumulée des revenus selon la part cumulée de la population ; sa convexité vient du classement par revenu croissant, et elle reste sous la diagonale d'égalité. Comparer deux courbes permet de comparer deux répartitions. J'ouvre sur l'indice de Gini, qui résume la courbe par un nombre.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Placer les parts de revenus non cumulées.
• Classer la population du plus riche au plus pauvre.
• Comparer des courbes qui se croisent avec un seul indicateur.

Revoir les notions

• Statistiques descriptives (Seconde) →
• Compléments sur la dérivation (Terminale spé maths) →

Autres questions : inégalités

• Comment l'indice de Gini résume-t-il les inégalités en un seul nombre ?
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