Question transversaleMathsSESInégalités

Comment l'indice de Gini résume-t-il les inégalités en un seul nombre ?

L'indice de Gini est le double de l'aire entre la diagonale et la courbe de Lorenz : G = 1 − 2∫₀¹L(x)dx. Pour L(x) = x², G = 1/3 ; avec la méthode des trapèzes sur les quintiles français, G ≈ 0,29.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, on compare les pays par leur indice de Gini : environ 0,29 pour la France, 0,39 pour les États-Unis. Je voulais savoir d'où vient ce nombre. J'ai découvert qu'il mesure une aire, celle qui sépare la courbe de Lorenz de la diagonale d'égalité. C'est une application directe du calcul intégral, et même de la méthode des trapèzes.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter et calculer une aire par une intégrale ou une méthode d'approximation, et l'utiliser pour construire un indicateur.

Mathématiques

Intégrale et aire sous une courbe (terminale)
Primitives des fonctions puissances (terminale)
Méthode des trapèzes, approximation d'une intégrale (terminale)

Sciences économiques et sociales

Courbe de Lorenz, coefficient de Gini (terminale)
Comparaisons internationales des inégalités (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La courbe de Lorenz montre les inégalités, mais il est difficile de comparer plusieurs courbes à l'œil. Problématique : comment résumer la courbe par un nombre, et comment le calculer ?
2. Mathématiques : une aire normalisée
3,5 min
L'aire entre la diagonale et la courbe vaut $\int_{0}^{1} (x - L (x)) d x = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} L (x) d x$ ∫₀¹(x-L(x))dx=1/2-∫₀¹L(x) dx. On la divise par l'aire du triangle sous la diagonale, $\frac{1}{2}$ 1/2, pour obtenir un nombre entre 0 et 1 : $G = 1 - 2 \int_{0}^{1} L (x) d x$ G=1-2∫₀¹L(x) dx.
Égalité parfaite : $L (x) = x$ L(x)=x, $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ ∫₀¹x dx=1/2, $G = 0$ G=0. Inégalité maximale : $L$ L presque nulle, $G \to 1$ G→1. Pour le modèle $L (x) = x^{2}$ L(x)=x² : $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ ∫₀¹x²dx=1/3, $G = \frac{1}{3}$ G=1/3 ; pour $L (x) = x^{3}$ L(x)=x³ : $G = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ G=1-2/4=1/2.
3. Calcul à partir de données réelles
3,5 min
Avec les quintiles français (parts cumulées 0 ; 0,08 ; 0,21 ; 0,38 ; 0,61 ; 1), on approche l'intégrale par la méthode des trapèzes, de largeur 0,2 : $\int_{0}^{1} L \approx 0, 2 \times (\frac{0 + 0 , 08}{2} + \frac{0 , 08 + 0 , 21}{2} + \frac{0 , 21 + 0 , 38}{2} + \frac{0 , 38 + 0 , 61}{2} + \frac{0 , 61 + 1}{2}) = 0, 356$ ∫₀¹L≈0,2×((0+0,08)/2+(0,08+0,21)/2+(0,21+0,38)/2+(0,38+0,61)/2+(0,61+1)/2)=0,356.
D'où $G \approx 1 - 0, 712 = 0, 288$ G≈1-0,712=0,288, proche de la valeur publiée par l'INSEE (environ 0,29). Comme la courbe est convexe, la méthode des trapèzes surestime l'aire sous la courbe : le vrai Gini est un peu plus élevé, et des données plus fines (déciles, centiles) l'affinent.
En SES, on compare : Gini du niveau de vie d'environ 0,29 en France, 0,39 aux États-Unis, plus de 0,5 dans certains pays d'Amérique latine.
4. Conclusion
2 min
L'indice de Gini est le double de l'aire entre la diagonale et la courbe de Lorenz : $1 - 2 \int_{0}^{1} L$ 1-2∫₀¹L. Il se calcule par une primitive pour un modèle, ou par la méthode des trapèzes pour des données réelles. J'ouvre sur ses limites : deux répartitions très différentes peuvent avoir le même Gini.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

G = \frac{\int _{0}^{1} ( x - L ( x )) d x}{1/2} = 1 - 2 \int_{0}^{1} L (x) d x G=(\int₀¹(x-L(x)) dx)/(1/2)=1-2\int₀¹L(x) dx L (x) = x^{2} : G = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} L (x) = x^{3} : G = \frac{1}{2} L(x)=x²: G=1-2/3=1/3 L(x)=x³: G=1/2 \int_{0}^{1} L \approx 0, 2 (\frac{0 + 0 , 08}{2} + \dots + \frac{0 , 61 + 1}{2}) = 0, 356 \Rightarrow G \approx 0, 288 \int₀¹L\approx0,2((0+0,08)/2+\dots+(0,61+1)/2)=0,356 \Rightarrow G\approx0,288

Conclusion : la réponse à la question

L'indice de Gini résume la courbe de Lorenz par le double de l'aire qui la sépare de la diagonale. Un modèle se traite par une primitive, des données réelles par la méthode des trapèzes : pour la France, environ 0,29.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi diviser par 1/2 ?

Pour que l'indice soit compris entre 0 et 1 : 1/2 est l'aire maximale possible entre la diagonale et une courbe de Lorenz.

La méthode des trapèzes surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle l'intégrale ?

Elle la surestime pour une fonction convexe, car les cordes sont au-dessus de la courbe ; le Gini est donc légèrement sous-estimé.

Calculez G pour L(x) = xⁿ.

$1 - \frac{2}{n + 1} = \frac{n - 1}{n + 1}$ 1-2/(n+1)=(n-1)/(n+1).

Deux pays de même Gini ont-ils les mêmes inégalités ?

Pas forcément : l'un peut avoir des pauvres très pauvres, l'autre des riches très riches, avec la même aire totale.

Le Gini du patrimoine est-il plus élevé que celui des revenus ?

Oui, nettement (environ 0,65 en France) : le patrimoine s'accumule et se transmet.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur 2 dans la formule.
Croire que le Gini suffit à décrire une répartition.
Calculer l'aire sous la courbe au lieu de l'aire entre la courbe et la diagonale.

Revoir les notions

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