Variations et extremums en Première spé maths

Variations et extremums en Première spé : cours complet

L'étude des variations et des extremums d'une fonction est essentielle : c'est ce qui permet de comprendre son comportement et de résoudre des problèmes d'optimisation.

Variations d'une fonction

Définition

Soit $f$f définie sur un intervalle $I$I :

• $f$f est croissante sur $I$I si : $\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).
• Strictement croissante si $f(x_1)<f(x_2)$f(x₁) < f(x₂).
• Décroissante / strictement décroissante : définitions symétriques.

Lien avec la dérivée (théorème fondamental)

$$f^{\prime }>0\text{ sur }I⟹f\text{ strictement croissante sur }I$$f' > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur I

$$f^{\prime }<0\text{ sur }I⟹f\text{ strictement deˊcroissante sur }I$$f' < 0 sur I ⇒ f strictement décroissante sur I

Extremums

Définitions

• $f$f admet un maximum local en $x_0\in I$x₀ ∈ I s'il existe un voisinage $V$V de $x_0$x₀ tel que $f(x)\le f(x_0)$f(x) ≤ f(x₀) pour tout $x\in V\cap I$x ∈ V ∩ I.
• Minimum local : définition symétrique.
• Global : sur tout l'ensemble $I$I.

Condition nécessaire

Si $f$f est dérivable et admet un extremum local en $x_0\in$x₀ ∈ intérieur de $I$I, alors $f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0.

Condition suffisante

Si $f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0 et $f^{\prime }$f' change de signe en $x_0$x₀, alors $f$f a un extremum local en $x_0$x₀ :

• $f^{\prime }$f' passe de $+$+ à $-$- : maximum.
• $f^{\prime }$f' passe de $-$- à $+$+ : minimum.

Attention

$f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0 sans changement de signe ne donne pas d'extremum (c'est un point d'inflexion à tangente horizontale).

Tableau de variations

Après calcul de $f^{\prime }$f' et étude de son signe, on dresse le tableau de variations :

Exemple : étude complète

Fonction

$f(x)=x^3-3x^2$f(x) = x³ - 3x² sur $\mathbb{R}$ℝ.

Dérivée

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Signe de $f^{\prime }$f'

Conclusion

$f$f a un maximum local $0$0 en $x=0$x = 0 et un minimum local $-4$-4 en $x=2$x = 2.

Optimisation

Méthode

Pour maximiser ou minimiser une grandeur, on l'exprime comme une fonction et on étudie ses variations.

Exemple

Trouver les dimensions du rectangle d'aire maximale, de périmètre $40$40.

• Soit $L$L et $\ell$ℓ les dimensions. $L+\ell =20$L + ℓ = 20, donc $\ell =20-L$ℓ = 20 - L.
• Aire : $A(L)=L(20-L)=20L-L^2$A(L) = L(20 - L) = 20L - L².
• $A^{\prime }(L)=20-2L$A'(L) = 20 - 2L. $A^{\prime }(L)=0⟺L=10$A'(L) = 0 ⇔ L = 10.
• $A^{\prime }$A' passe de $+$+ à $-$- en $L=10$L = 10 : maximum.
• Max : $A(10)=100$A(10) = 100.

Le rectangle est un carré de côté $10$10, aire $100$100.

Inéquations utilisant les variations

Méthode

Pour prouver $f(x)>0$f(x) > 0 sur $I$I :

1. Calculer $f^{\prime }(x)$f'(x) et étudier ses variations.
2. Identifier le minimum de $f$f sur $I$I.
3. Si ce minimum est $>0$> 0, alors $f>0$f > 0 partout.

Exemple

Montrer que $f(x)=x^2-4x+5>0$f(x) = x² - 4x + 5 > 0 pour tout $x\in \mathbb{R}$x ∈ ℝ.

$f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x) = 2x - 4, $f^{\prime }(2)=0$f'(2) = 0, minimum en $x=2$x = 2 : $f(2)=4-8+5=1>0$f(2) = 4 - 8 + 5 = 1 > 0.

Donc $f(x)\ge 1>0$f(x) ≥ 1 > 0 pour tout $x$x.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre extremum local et global.
• Mauvais signe dans le tableau.
• Oublier de vérifier le changement de signe pour un extremum.
• Confondre $f$f et $f^{\prime }$f' dans le tableau.

FAQ — Variations et extremums

Un extremum est-il toujours là où $f^{\prime }$f' s'annule ?

Pas forcément : aux bornes d'un intervalle fermé, ou pour des fonctions non dérivables (par exemple $|x|$|x| en $0$0).

Comment savoir si un extremum est local ou global ?

Local : sur un voisinage. Global : sur tout l'ensemble. Il faut comparer aux autres valeurs de la fonction.

Que se passe-t-il aux bornes d'un intervalle fermé ?

Les bornes peuvent être des extremums globaux sans que $f^{\prime }$f' s'y annule.

À quoi sert l'optimisation ?

À résoudre des problèmes réels : maximiser un profit, minimiser un coût, optimiser une trajectoire, économiser de l'énergie…