Question transversaleMathsSESIndices et évolutions

Comment un salaire moyen peut-il baisser alors que le salaire de chaque catégorie augmente ?

Q: Quel lien avec la formule des probabilités totales ?

$P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)$ : une probabilité globale est une moyenne pondérée de probabilités conditionnelles, sensible aux poids $P(Bᵢ)$.

Une moyenne pondérée dépend des valeurs et des poids : si chaque catégorie gagne +2 % mais que la part des bas salaires passe de 50 % à 60 %, le salaire moyen passe de 2 250 € à 2 142 €, soit −4,8 %. C'est l'effet de structure.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant une étude sur les salaires, j'ai vu que le salaire moyen d'une entreprise avait baissé alors que chaque catégorie de salariés avait été augmentée. Cela m'a paru impossible. J'ai découvert l'effet de structure, une conséquence de la moyenne pondérée, que l'on retrouve dans de nombreux débats économiques et sociaux.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre qu'une moyenne pondérée dépend autant des poids que des valeurs, et distinguer effet de structure et effet propre.

Mathématiques

Moyenne pondérée (seconde)
Proportions et sous-populations (seconde)
Probabilités totales (première)

Sciences économiques et sociales

Salaires, structure des emplois, catégories socioprofessionnelles (première, terminale)
Effet de structure (savoir-faire, lecture critique)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une entreprise compte des cadres et des employés. Chaque catégorie voit son salaire augmenter de 2 %, mais l'entreprise embauche surtout des employés. Problématique : comment le salaire moyen peut-il baisser ?
2. Mathématiques : une moyenne pondérée
3,5 min
Année 1 : 50 % de cadres à 3 000 €, 50 % d'employés à 1 500 €. Moyenne : $0, 5 \times 3000 + 0, 5 \times 1500 = 2250$ 0,5×3 000+0,5×1 500=2 250 €.
Année 2 : les salaires augmentent de 2 % (3 060 € et 1 530 €), mais la part des cadres tombe à 40 %. Moyenne : $0, 4 \times 3060 + 0, 6 \times 1530 = 2142$ 0,4×3 060+0,6×1 530=2 142 €. Le salaire moyen a baissé de 4,8 %.
La moyenne $\overset{x}{ˉ} = \sum w_{i} x_{i}$ bar x=Σ wᵢxᵢ varie par les valeurs $x_{i}$ xᵢ (effet propre) et par les poids $w_{i}$ wᵢ (effet de structure). Ici, l'effet de structure (plus d'employés) l'emporte sur l'effet propre (+2 %). C'est une forme du paradoxe de Simpson : une tendance vraie dans chaque groupe s'inverse dans l'ensemble.
3. SES : interpréter correctement
3,5 min
L'effet de structure intervient dans de nombreux débats. L'écart de salaire moyen entre femmes et hommes s'explique en partie par la répartition différente dans les métiers et les temps de travail (effet de structure) et en partie par des écarts à poste égal (effet propre, discrimination). Pour séparer les deux, on compare à structure constante : on calcule ce qu'aurait été la moyenne avec les poids de l'année 1.
Avec les poids de l'année 1, la moyenne de l'année 2 vaudrait $0, 5 \times 3060 + 0, 5 \times 1530 = 2295$ 0,5×3 060+0,5×1 530=2 295 €, soit +2 % : c'est l'effet propre. L'effet de structure explique tout le reste de l'écart.
4. Conclusion
2 min
Un salaire moyen peut baisser quand tous les salaires augmentent, parce que la moyenne dépend aussi de la composition de la population : c'est l'effet de structure. Raisonner à structure constante permet de le séparer de l'effet propre. J'ouvre sur les comparaisons de taux de réussite entre établissements, sensibles au même paradoxe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ann \overset{e}{ˊ} e 1 : 0, 5 \times 3000 + 0, 5 \times 1500 = 2250 ann \overset{e}{ˊ} e 2 : 0, 4 \times 3060 + 0, 6 \times 1530 = 2142 année 1 : 0,5\times3 000+0,5\times1 500=2 250 année 2 : 0,4\times3 060+0,6\times1 530=2 142 \overset{a}{ˋ} structure constante : 0, 5 \times 3060 + 0, 5 \times 1530 = 2295 (+ 2 %) à structure constante : 0,5\times3 060+0,5\times1 530=2 295 (+2 %) \overset{x}{ˉ} = i \sum w_{i} x_{i} bar x=Σᵢwᵢ xᵢ

Conclusion : la réponse à la question

Une moyenne pondérée varie avec les valeurs et avec les poids : quand la structure de la population change, la moyenne peut évoluer en sens contraire de chaque groupe. Calculer à structure constante isole l'effet propre, indispensable pour interpréter correctement les statistiques sociales.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce que le paradoxe de Simpson ?

Une tendance observée dans chacun des sous-groupes qui s'inverse quand on regroupe les données, à cause de poids différents.

Le salaire médian aurait-il le même problème ?

Oui : il dépend aussi de la composition de la population, même s'il réagit différemment.

Quel lien avec la formule des probabilités totales ?

$P (A) = \sum P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})$ P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) : une probabilité globale est une moyenne pondérée de probabilités conditionnelles, sensible aux poids $P (B_{i})$ P(Bᵢ).

Comment présenter honnêtement l'évolution des salaires de l'entreprise ?

Donner la moyenne globale, l'évolution par catégorie et l'évolution à structure constante.

Donnez un exemple d'effet de structure en démographie.

Le taux de mortalité brut d'un pays vieillissant peut augmenter alors que la mortalité baisse à chaque âge.

Les pièges qui coûtent des points

Conclure d'une baisse de la moyenne que tous les salaires ont baissé.
Comparer des moyennes de populations de structures différentes sans précaution.
Confondre effet de structure et effet propre.

Revoir les notions

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